如何证明下面的关于调和函数的问题？ 第1页

你这个表述错到离谱.

1.调和函数是定义在开集上的，没有所谓的闭区域上的调和函数，正因为此，所谓Laplace方程的边值条件的定义需要十分谨慎，有许多种不同定义的方式，例如一致连续、分布、测度、法向量一致逼近等.

2.显然应该是在 上积分，否则法向导数没有意义.

3.你这个表述换个方式就是：

其中 是Newtonian potential，也可以叫基本解.众所周知，在一般区域上，上式右侧只能表示一个调和函数，而给不出任何边界信息.正因为此，我们才发展出许多其他的求解调和函数的理论，例如Green函数方法、位势方法.

4.正确的表述是

其中 是区域 上的Green函数.不过需要注意的是，这个公式的证明非常容易，但它一点用都没有，因为一般区域的Green函数几乎求不出来.

5.比较好的求解调和函数的方法是使用位势理论将方程转化为关于基本解作为Hilbert-Schmidt积分核的积分方程，积分方程总是好求的，在数值计算上也容易操作.

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我之前看错了......你是已经知道 的情况下，要得到其中一点的表示，那么基本解的表述是对的，证明只需要使用逼近技术即可：

设 ， ， ， ，则

其中 指的是 上的分布空间，令 ， ，则结论成立.这里值得注意的是，上述式子成立的条件是边界 是 子流形， ，因此在这个证明下，需要加上这两个条件.

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如果你是物理系的，那证明将更加简单，甚至不需要逼近技术，唯一需要的是Green公式：

其中 是Dirac分布.