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这个第二型曲面积分用书上的方法怎么做不出正确结果,第二型曲面积分转化成重积分怎么理解? 第1页

  

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第二型曲面积分转化为二重积分的理解

积分要想理解得好,就得好好研究积分的微元,如图1所示:

从曲面 上截取一微元曲面,可视为平面。这一微元的第二型曲面积分的定义就是

其中 是该曲面微元在 平面上的投影,是个三角形,其余类似,称为投影微元。

现在我们要把它化为二重积分,也就是把投影微元 和 用 来表示。

如图2所示,因为两个三角形同底边,面积之比等于高之比,故有 ,而在曲面 上沿x轴前进时z轴下降,也就是说z对x的偏导数为负,故

同理有 .

因此 ,即

这就是第二型曲面积分转换为二重积分的直观原理。

本题的计算

本题用对称性是最方便的。如果一定要用上述定理硬解,确实可行,但计算比较麻烦。

化为二重积分硬解

显然在平面 上总有个坐标恒为0,故面积分为0,只需要考虑 平面上的面积分。积分曲面为 .

其中 表示 和坐标轴围成的三角形区域。

然后就是简单的二重积分计算,化为累次积分即可

能算,但很麻烦。这个过程我直接拿软件算了,如图3所示:

对称性巧解

被积函数和积分区域都具有x, y, z的轮换对称性,故

见题图中的解法。




  

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