如何证明对任意给定的正数e，存在M上的矩阵范数||A||，满足不等式||A||<=谱半径+e? 第1页

在各地哀鸿遍野感叹知乎学术问题世风日下的大环境下，难得看到一个还挺有意思的问题……

先说有限维矩阵里的情形。结论可以从下面的一个等式导出： ，其中 是谱半径， 是算子范数.

证明不困难. 很容易发现如果A是对角阵或者可对角化的话，上述等式一定是对的，取P是把A对角化用到的转移矩阵就可以了。一般的，考虑A的Jordan标准型，即A可以相似到D+J，其中D是对角阵并且 ，J是分块对角阵，每一块是上三角阵，只有临近对角线的一斜排是1. 所以如果能够把J相似到一个很小的矩阵就可以了. 这来源于下面的一个观察：

中间的矩阵就是J的一块了. 所以可以找到对角阵Q，使得 是一排很小的 ，那么范数就不超过 . 注意到Q和对角阵D是可以交换的，所以存在可逆矩阵P，使得

.

有趣的是，这个命题有无穷维的推广。我们可以证明如下命题：

记 为Hilbert空间H上有界算子全体，对任意 ， ，存在H上的等价范数 ，使得 ，其中 是从属于的算子范数，即 .

换句话说，对于有界算子全体而言，谱半径一样是全体算子范数的下确界。换个内蕴的说法，如果 是一个算子代数（即可以实现为 的闭子代数的Banach代数，例如C*-代数），那么 中某个元素的谱半径是所有等价的Banach代数范数的下确界。

证明也很简单，但是前面的过程肯定不适用了，因为没有相似标准型了。这时候用这样一个技巧：

记 . 根据谱半径的Gelfand公式

所以存在N当n大于N时，有 . 我们定义 ，则

所以此时 . 证毕

上述命题还可以推广为不等式对 成立，其中 .

ref: Theorem 5, Rodrigues, Hildebrando M.(BR-SPL3-CMC); Solà-Morales, J.(E-UPB-A1) Linearization of class C1 for contractions on Banach spaces. (English summary) J. Differential Equations 201 (2004), no. 2, 351–382.