a，b，c，d 是正实数，且 a²＋b²＋c²＋d²＋abcd＝5，怎么证明 a＋b＋c＋d≤4？ 第1页

本人用的方法还是很“和谐”的高一绝对能看懂！一下正文

首先(a+b+c+d)²=(a+b)²+2(a+b)(c+d)+(c+d)²

=a²+b²+c²+d²+2ac+2ad+2bc+2bd+2ab+2cd

=5－abcd+2(ac+ad+bc+bd+ab+cd)

既然都给正实数了不用均值我亏啊

[(a+b+c+d)/4]^4≥abcd;(a+c)²/4≥ac......略。(体谅一下哈，主要实在打字太累了)

当且仅当原式a=b=c=d=1时取最大值:5－1+2×6=16

若证明(a+b+c+d)≤4则需证明(a+b+c+d)²≤16

刚刚最大值算出来了为16，所以明显成立

刚高一可能有点错误，还望大佬指点啊

无聊的题目

易知只要证明当 时，

即只要证明：

居然有幸和 @cyb酱 大佬答同一道题，世界真小。

已知 ，要证

容易发现条件不齐次，而且齐次化也并不简单，所以我们倒逆条件与结论，得到命题

已知 ，要证

这个命题是很容易向前归纳的（ 的情况只需要看成在 时将最后一个变元设为1即可），所以柯西归纳可以考虑，实现方法就选择均值不等式证明中的调整法。

设 ， ，作平均调整 得到

所以，只要对于任意的 ，都有 ，那么因为是2的整数次幂，所以经过有限次调整可以把所有变元调成1，最后

如果存在 ，使得 呢？那么作边缘调整

• 什么，你说正实数？
• 那我先把非负数证了，正实数也就对了。

中间用到了柯西不等式。之后柯西归纳，倒逆命题证毕。

根据倒逆命题回到原命题，只需要添加反证即可。如果 ，那么 ，与原命题矛盾了。

对于 ，看看中间的调整过程也就够了。

首先翻转问题，在 时证明 。

具体论证见 @cyb酱 的回答，下面解翻转问题。

首先我们有恒等式

三个式子加起来用Cauchy不等式一通放缩：

其中 。带进去得到 ，右边不小于5的不等式等价于 。由Cauchy不等式就证得 。右边的不等号不一定成立，但是如果 ，要证明的原不等式显然成立。所以解决了问题。

最后吐个槽：高 中 数 学 高 效 提 分

你们怎么又拿奇怪的题目给高中生做（题目有个高中数学tag）

我们使用消元法+反证法，实际上这种技巧是机械性的，只要有足够的耐心都能证出来（然而其实是我太久没做不等式了+只会暴力方法）

设 , 如果结论不真 , 即 那么 : 设

于是 , 另外

我们为了推出矛盾 , 只要证明

因为均值不等式 , 我们知道 , 因此 , 如果左边如果左边加上小的 , 右边加上大的 ,

新的不等式都能成立 , 那么显然原不等式也成立 .

因此 , 我们希望能够证明更强的不等式 :

（顺便说一句这个系数已经是最优的了）

我们用熟知的技巧来处理 : 因为

因为式子是对称的 , 我们不妨设 是 中最小的 , 因此

因此左式变成

如果 , 利用均值 成立 .

否则非零就可以左右乘上 得到

接着为了配凑乘积左右再加上

化简得到只要证明

不难观察到右边分子为

因此如果左式非正数 , 结论得证 , 若不然 , 如果左式有两负一正

不妨设 那么 , 这是不可能的

因为

因此唯一的可能就是左式三项都是正的 , 运用均值不等式 , 得到 :

也就是 , 于是整个要证的式子因式分解得到等价的 : 结论得证