有哪些有趣的概率问题？ 第1页

如果一个赌徒进行一个赌博游戏，赌徒先压一定数量的押金，扔一枚完全公平的硬币，如果正面向上的话那么赌徒会赢得两倍于下注数量的回报（并拿回自己下注的押金），如果正面向下的话会输掉全部押金，问题是这个赌徒应该每次下多少注才是最优的呢？

风险投资陷阱：做的每一笔投资都是正预期收益的，但是最后几乎会变得一无所有。

在进行投资或者购买股票的时候，预期收益是一个非常重要的参考。当今越来越多的人接受概率的观点，知道虽然买彩票或者赌博有可能暴富，但是因为从期望角度而言每买一张彩票或者是下一个赌注都是亏损的，所以从理性角度不应该进行这一笔交易。

但是收益为正的投资一定是理性的么？

我们设想有这样一种风险投资：如果当前的的资产为S的话，下一个单位时间的资产50%的概率变为原来的0.9倍，50%的概率变成原来的1.11倍。问题是：每次都投入全部资产，持续进行这样的投资是否是理性的。

经过简单的计算可以得到，经过一个单位时间后，资产的数学期望是 ，这样预期收益为 ，也就是说，该投资单位时间的期望收益率为0.5%。

也许看到这里你会觉得，不断进行这样的投资是无比理性的，看起来每一笔投资都无比的乐观。但是事实上，如果一个人不断进行这样的投资，他几乎会满盘皆输。

我们用数学语言来描述这个问题：如果最初的资产是 ， 个单位时间后的资产 是 的 倍， 之间是独立的，有50%的概率为0.11，50%的概率为-0.1。那么 。由于独立性，

因此 ，也就是说理论上投资期望收益是正无穷。但是

有50%的概率为 ，50%的概率为 ，所以 。根据强大数定律， ，也就是说 ，即几乎可以肯定不断进行这样的投资会血本无归。

到这里读者可能会产生困惑，明明期望是正无穷为何几乎血本无归呢？这是因为尽管 趋于零，但是 趋于正无穷，就是说可能存在 很大很大，当然这种事情发生的概率非常非常小。 结果导致很少的人赚很多的钱，但是绝大部分人血本无归。

为了验证这一观点，我使用蒙特卡洛方法进行了数值上的模拟。我一共模拟了一万个投资者，初始资产都为1，经历了300个单位时间。模拟的结果如下：

每一点代表了对应时间一个投资者的资产。我们可以看到，随着时间的推进，越来越多的投资者的资产越来越少，但是与此同时，极少数投资者获得了惊人的利润。也就是说，虽然社会总资产看起来是不断增加的，但是背后隐藏的是社会上绝大部分的资产会掌握在极少数人的手里，和绝大部分人会血本无归。

这就是风险投资中的陷阱：看上去无比乐观的投资却屡屡亏损，明明理论上投资的期望收益是正无穷，但是市场上几乎没有真正赚钱的投资者。

风险投资如此，赌博亦然，在赌场中基本上每次下注的期望收益都是负的，对一个赌性很大的赌徒而言，他眼里的只能看到通过赌博可以一夜富有，可是残酷的事实是，真正能够通过赌博赚钱的人是极其稀有的，持续的赌博背后一个人几乎注定（100%概率）会血本无归。

使用MatLab模拟200000个体历经1000单位时间，红线是 代表数学期望的理论值，蓝线是模拟数据的平均值，可以看到平均值比较好的和理论数学期望结果相一致：

       N = 200000; T = 1000; X = ones(N, T); Y = ones(N, 1) * (1:T); a = 0.9; b = 1.11; rm = randi(2, size(X)) - 1; for i = 2:T     X(:, i) = rm(:, i-1) .* X(:, i-1) * a + (1-rm(:, i-1)) .* X(:, i-1) * b; end plot(Y(:), X(:), '.') plot(1:T, mean(X, 1)) hold on plot(1:T, 1.005.^(1:T)) xlabel('时间') ylabel('资产') legend('模拟值', '理论值')     

凯利公式

评论区 @Zhang Wang 提到了凯利公式，我也挺感兴趣，下面我就来继续讨论每次投资的时候应该投资当前总资产的最优比例（仓位） 。

下面我们对普遍情况进行讨论， 收益率 服从某种分布并且满足 ，那么如果我们每次投资选择的仓位为 的话，实际收益率变为 ，根据之前的讨论我们知道， ，根据强大数定律 ，也就是说平均收益率几乎可以肯定收敛于 ，所以最优投资方案应该满足 ：

令：

那么：

如果 的话， ， 关于 单调下降，所以 ，也就是说，在期望为负的投资中，最优选择是一分钱都不投资。

如果 的话， ，由于 是上凸函数，如果 ，说明 ，说明此时的最优选择是仓位拉满。

如果 ，那么最优选择满足

如果进行线性近似的话， ，也即 。

对于最简单的情况， 服从两点分布， 表示以概率p收益率为 ， 表示以概率 收益率为 ，其中 分别表示挣钱和亏损的情况。

那么根据之前的分析，投资有意义的充要条件为 ，在这种情况下，如果 ，此时仓位拉满。

否则，最优仓位满足 ，化简得到 ：

这就是投资中的凯利公式。

当然可以直接计算 ，如果 ，那么停止投资；如果 ，那么投资拉满；如果 ，那么每次投资总资产的 。

那么对于上文中提到的具体投资问题， 。

把凯利公式应用到文章开始的赌博问题中，可以计算出 ，同样进行蒙特卡洛方法进行数值模拟，一共模拟100000个体，分别按照0.5倍 ， 和2倍 进行下注，绘制图像。左边代表每个个体在对应时间的资产量，右边代表所有个体的平均资产关于时间的变化。

0.5倍 ：

：

2倍 ：

对比可以看到，从平均资产的角度来看 2倍 > 1倍 > 0.5倍。但是仓位的增加会导致风险的加大，看似 比 多了将近四个量级，但是这种投资对于个体而言风险过大，当我们只统计资产比较少的90%个体时，绘制这90%的人的平均资产关于时间的变化曲线，从左到右分别是0.5，1，2倍 ⬇️：

我们可以清楚的看到，对于大部分人而言， 是最优的选择：它既没有因为投资过于保守收益率过低，也没有因为投资过于激进而导致风险过大。

2019年8月24日更新：

我们再来讨论一个新的赌博问题：

一种必赢的赌博方式：一个赌徒进行一个赌博游戏，赌徒先压一定数量的押金，扔一枚完全公平的硬币，如果正面向上的话那么赌徒会赢得和下注数量一样的回报（并拿回自己下注的押金），如果正面向下的话会输掉全部押金。现在这个赌徒采取这样的策略：赌徒每次都押正面，第一次下一单位的押金，如果赢了的话重新开始，如果输了的话，下一轮开始下两单位的押金，并且如果再输的话，下一轮押四单位的押金，这样一直下去，如果输每次押金翻倍，直到赢为止。这是不是一种必胜的赌博方式。

为了搞清楚这个问题，我们需要对问题的背景进行讨论。

首先明确的一点是，如果赌徒的资金是无限的，并且可以无限下注，那么赌徒理论上必胜。并且很容易可以看到，赌徒每一次循环都能够赢得一单位的押金，但是每一轮的回报率是一个随机变量：如果在第一次赢（50%概率），收益率100%；如果在第二次赢（25%概率），投入2单位，回报1单位，收益率33.3%；如果在第三次赢（12.5%概率），投入7单位，回报一单位，收益率14.3%。并且期望收益率为： 。

但是现实生活中这样的假设只有当赌徒的资金远远大于赌场的资金，并且赌场没有权利中途停止游戏才可以，这种情况已经不能称为是公平的游戏，如果现实中出现是强者对弱者的无耻掠夺行为。

接下来我们讨论有上限的投注方式，这是因为：

• 赌徒的资金有限
• 赌场的资金有限

为了简化讨论我们假设赌场的资金无限。我们讨论两种赌博模型：

1. 赌徒每一轮开始会投入自己总资金的 ，这样的话最多投注 轮；
2. 赌徒每一轮开始会下一单位注，自己初始总资金为 ，如果发现翻倍下注自己的资金已经不够（但是不为0），他会选择借钱来凑齐翻倍的资金。

并且我们最先讨论的是一个贪心的赌徒：他不管是赢了还是输了，除非破产，会一直赌下去。

这时候首先我们对于一般情况进行理论分析：

赌徒在第 轮结束的资金是 ，由于这是一个公平的赌博游戏，所以 ，根据Fubini定理， 的极限 满足 ，所以根据切比雪夫不等式， 。

对于第一个赌徒，他每一轮有 的概率获得当前资金的 ，每一轮有 的概率破产，如果他一直赌的话只要输一局便会输光，所以一定会输光。

但是如果这个赌徒稍微学过一点数学，每一轮的 在变化，第 轮的 为 （我们假定 ）的话又如何呢？

首先 轮时未破产的概率为 ，如果未破产的话 。

一直赌下去未破产的概率为 ， ，如果未破产总资产的极限为 。

因此赌徒的总资产 的极限 的概率分布为：

， ， 。也就是说，赌徒可以通过初始下注的控制来实现以比较大的概率小赚一笔；或者以比较小的概率发大财。但是这种方式是非常冒险的，远非一个“必胜”的赌博方式。

对于第二种赌徒，他在未破产的情况下， ，在前 轮都赢的情况下，第 轮破产的概率是 ，所以前 轮未破产概率为： ，一直赌博下去未破产概率为 ，因为

所以 。在个人资金有限，赌场资金无限，每次都投入等量的注，不管初始投注有多小，赌下去破产的概率为1。也就是说，这种赌博方式总有一天会翻车，100%会倾家荡产。

参考资料：

• 《概率论 第二版》 应坚刚，何萍

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附送一道题：

你参加一个电视节目，经历闯关成功之后，现在你面前有三个门可选。其中一个门后面

是宝马，另两个是空门。现在你随便选了一个门准备打开。此时主持人故意关闭了一个

空门。现在你可以继续决定打开你之前选定的门，或者改换另一个门。

问：换还是不换？为什么？