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如何求解微分方程 y"+(y')²-y=0? 第1页

  

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用李群分析的角度讲一下怎样降阶

通过微分不变量,实现阶的约化

首先这个式子不显含 ,所以在平移群(也仅有该平移群)

的作用下保持不变,即

其中 ,

该群的无穷小变换为:

无穷小生成元为:

将 看作独立变量,令 ,寻找一阶延拓不变量 与

由延拓公式

得到

一阶延拓无穷小生成元为

方程 的首次积分函数就是我们要找的一阶延拓不变量

特征方程为

解得

则一阶延拓不变量为

通过一阶延拓不变量可构造二阶不变量

将(1)(2)代入方程 ,得到

令 就得到了一阶线性非齐次方程,且为常系数

解得

将变量全部替换回 ,得到




  

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