怎样计算圆内任意两点间距离的期望值？ 第1页

直接根据定义在直角坐标系和极坐标系下面的积分看起来似乎很难，但是也不是没有办法做，典型的办法可以看这里：

这个积分其实挺简单的。

但是我们不妨要求更高一点，提高这个问题的难度：扩展这个问题为——圆内任意两点间的距离 的概率分布 是怎样的？有了分布，根据定义去算期望甚至方差都是可行的，多积两个分就是了。

所以，我们怎么求圆内任意两点间的距离的分布呢？直接去想，很复杂，没有思路。但是我们只需要稍微变通一下，问题就能迎刃而解。

一、用条件概率的视角来看问题

不妨设圆半径为1，是别的半径把算出来的期望乘以半径即可。

我们按照一种条件概率的思维来思考一下这个问题，把这个问题拆成两步。

步骤1、在圆内半径为 处随机取一点，作为你的第一个点。

步骤2、设定距离 ，在距离第一个点 的地方取第二个点。

针对第1步，均匀洒点在单位圆内概率密度显然是 ，极坐标下圆内随机取点关于角度依然是处处均匀称的，设在圆内随机取点 半径处的分布 ，考察 处 厚圆环显然有：

所以 ，其中 。

针对第2步，这是在选取好了 后再选取 ，所以这一步其实对应条件概率 。

那么两步联合起来看，已知 了，只需要知道 ，那么就能够知道 ，我们的目标是想知道 ，所以marginalize 这个分布就行了。也就是：

其中， 是 不为0的地方，也就是支撑集（support set）。

二、条件分布的求取

好，现在的问题就是搞明白第2步的 长啥样，以及 长啥样就行了。

记圆的圆心为O，假设第一个点选在P，当然它距离圆心为 ，那么要知道 就需要考察所有以P为圆心 为半径的，这里分两种情况：

情况1、 ，此时所有距离P为 的点都在圆O内，如下图。因此关于 有：

那么

情况2、 ，此时只有一部分点取在圆内。

在上图中就是圆内这边的弧AB，这段弧长为 。且根据余弦定理有：

这种情况下，有

三、联合分布的边缘化

我们知道了条件分布 ，那么联合分布 就是：

那么正如我们上面所说 积分即可积出边缘分布。

要正确的积出上面的边缘分布，需要搞明白 的积分上下限怎么取，为此需要考察联合概率分布的支撑集（support set），也就是 的地方在哪里。

在第一个点选在距离圆心为 处后，第二个点与第一个点的距离其实已经限死了，为了保证第二个点也在圆内，那么 肯定有 ，所以无论任何时候，都有 。同时，我们有 。因此：

(a) 在 时， 的积分限为 。在这个区间内有 ，那么 。

(b)在 时， 的积分限为 。这里又分为两种情况：

(i) ， 。

(ii) ， 。

直观一点 支撑集如下面所示：

因此 的分布 就是：

四、具体的积分过程

这里展示一下具体计算过程，不关心计算细节可以直接跳过。

从上一个section可以看到，对 的计算过程中存在2个积分。

第一个积分好算：

第二个积分其不定积分形为 ，这里

设 ， ，相当于要积分：

上面这个积分显然用分部积分来积：

暂先记后面一项为 ，前面一项可以套进定积分上下限计算出来带入上面的 和 用 表示的式子，有：

接下来计算 ，换元 ，则 ， 。

再度换元 ，即 ， 。

那么：

最后一步代入了 和 。考虑到 ，那么 时候，代入 和 可以得到 ， 和 的时候 相同，此时 。

所以有：

分别代回到 表达式中，发现分段函数两段一样，整理得到：

因此任意两点的平均距离是：

甚至可以求出标准差是：

五、推广到半径为 的情况

如何推广到一般半径？不需要重新积分，只需要量纲分析。 量纲肯定是 ，期望和标准量纲肯定是 。所以一般情况下：

到此针对这个问题我们就回答完了。