有哪些直观的现象，最终被数学证明是错误的? 第1页

1:实数轴上取一个点，这个点是有理数点概率为0。即使如此，这依然是会发生的事件，也就是0概率事件不是不可能事件。用实分析角度来讲即：零测集不一定是（大部分情况都不是）空集。

2:总有那么些集合，是无法定义长度的（即可以定义可数可加的测度）

3:处处连续的函数可以处处不可导（威尔斯特拉斯函数），处处可导的函数导函数可以处处不连续（volterra‘s函数）

4:两个周期函数的相加不一定是周期函数

5:并不是所有的函数都可以谈“面积”，即使使用lebesgue积分，也总有那么些牵涉到不可测集的函数是无法处理的

6:有理数和整数一样“多”，并且你不能找到一个集合，它比实数少又比整数多（即：不存在和实数的双射，也不存在和整数的双射），但是很遗憾，你无法找到，也无法证明这样的集合不存在。这就是连续统假设

7:看起来很大的集合可以很小（有理数集稠密但测度为0），看起来很小的集合可以很大（cantor集看起来不断三分变得很小，但是它和实数一样多）

8:你可以一笔画完一整个单位正方形，即使你要画很久（peano曲线）

9:不管你怎么选择公理，只要牵涉到足够多的运算，你总能找到一个命题无法确认真伪（哥德尔不完备性定理）

10:即使一个恒为正值的函数在整个实数轴上广义积分收敛，你也不能说它趋近0。就算你加了连续的条件，你也不能说它趋近0。甚至连有界都不一定能得到。

11:未完待续...