极坐标表示 5000 到 50000 之间的素数为什么会形成一条螺旋线？ 第1页

题主的问题实在太有趣了，我半夜爬起来研究这个问题，搬个板凳慢慢讲给你听。

咱不看500到50000那么多的质数了，看500到1500就够了，并且把质数涂成蓝色，把合数涂成红色，就得到：

发现了吧，大概11点钟方向和5点钟方向的确各有三列数全是合数。如果你还是看不太清楚，我把500-20000内的质数和这三条全是合数的线画出来：

数一下第一个图，会发现视觉上向外辐射的螺旋线一共有44条，为什么这44条曲线中恰好有6条上没有质数？下面来解决这个问题。

1. 为什么恰好有44条螺旋线

实际上螺旋线上的自然数并不相互挨着，自然数是跳跃着旋转排列的（相差一弧度也就是约57度），挑出500-550之间的自然数，相邻自然数用短线连上，是这个样子分布的：

如果两个自然数的夹角之差恰好接近的整数倍，它们在图上就会处在同一个方向，也就是一条螺旋线上，而：

恰好是一个非常接近整数的数，所以每隔44个自然数，两个自然数就会落在同一条螺旋线上，而多出来的0.0028，就是为啥每一条螺旋线会轻微逆时针旋转的原因。

2. 为什么有六条螺旋线上没有质数

我们只讨论大于500的自然数，在螺旋线上找到一个已知点后就可以得到：

左上角的三条全合数螺旋线为：

右下角的三条全合数螺旋线为：

因为536、542、520、514四个数是偶数，所以无论加多少个44结果还是偶数，所以这四条螺旋线全是合数；

因为517和539有因数11，所以无论加上多少个44结果还是能被11整除，所以这两条螺旋线也全是合数。

3. 只有这六条螺旋线上没有质数吗

不是的，只要有一个偶数出现，一条螺旋线上就不会再有质数出现了，因为加多少44还是偶数。这六条螺旋线只是因为三条相邻线上都没有质数（拜517和539这俩11的奇数倍数出现所赐），连在一起视觉上更加显眼而已。如果把所有没有质数的螺旋画出来，应该是这样：

连续44个自然数中，能被11整除的奇数只有两个，相隔22，这就是为啥只有两条奇葩的对称的全合数螺旋线小集团脱颖而出。

4. 当素数表越来越大时会怎样

我们会发现更多更接近倍数的整数，比如：

但下面这个数710则更加接近，并且它是偶数，根据前面的推导，可以看到更多纯合数的悬臂：

1万个自然数跨度上，上面44条螺旋线的悬臂旋转幅度是：

从上面的图片可以验证这一点，每1万个自然跨度下，悬臂旋转半圈多一点。

可以猜测当有很多素数时，将形成710条向外辐射的螺旋线，并且这些螺旋线相当直，每100万个自然数能够使它旋转：

也就是说每一百万个自然数跨度上，这710条悬臂只旋转5度。如果你生成前一亿自然数中的质数图，才能发现悬臂转过一圈。

由于，可见710条悬臂中编号是2、5、71倍数的悬臂都是纯合数悬臂，我们能找到更多3条相邻悬臂都是合数的情况出现。存在5条相邻的合数悬臂，比如编号为212，213，214，215，216的悬臂。

手头没有那么大的质数表，就不画图了，留个念想。

回答完毕。

=====================强迫症的分割线=====================

5.验证猜想

从wiki质数页面链接到一个提供质数表的网站

，下载了前一百万个质数，现在把区间[1006721, 15485863]之间也就是一百万到一千五百万之间的质数画出来是这样：

数一数，一共有71条粗悬臂，把左边部分拉近点看：

可以看到每一条粗悬臂一般含有四条细悬臂。这是因为10个连续自然数中除去5个2的倍数和两个5的倍数，还剩四个数，只有在这四个数代表的悬臂上才有可能出现质数。十点钟方向上较大的空白是五条相邻的合数悬臂。这些悬臂在跨度1400万的自然数区间内只旋转了不到70度，完美验证了上一节的猜测。

经

提醒，Matlab的A=primes(n);函数可以瞬间产生比n小的所有质数，好方便有没有！经测试这个函数可以返回值小于1.2亿的所有质数。

Matlab代码贴在评论区。

多图，手机党慎入。

这个问题，与圆周率的分数近似有关。

1. 约率22/7 决定了题主的第一张图，数据量50000这里王小龙的答案已经详细画图解释了。22的两个因数2和11,其中2决定了每隔一个就会有一条空白线，11决定了每隔11个就有一条空白线。而圆周是2，要44次才能循环一周(还多一点)两个2中间夹的一个11，就造成了3条空白线同时聚集，使得螺线更明显(这里需要说明，44=4*11，还有2个11哪里去了——在两条明显的白线垂直的两头位置，与2重合了)
2. 密率355/113决定了题主给的第二张图，由于数据量扩大为500000，约率22/7的误差就很明显了，这时候密率的作用就显现出来。而355=5*71，在图中就会看到5跟粗线(左边少一根，正好是在5和71的公倍数355处，在一根71的线位置被淹没了，道理同约率中被淹没的两条)，71根稍细一点的。如果仔细放大看每个1/71的小叶片中还有3条细线，这个3条配上左右两条粗一点的正好是5跟。5,71均为355的约数。由于密率比起约率来精度高了很多很多，所以这里的空白线基本呈直线状态，而不像约率的那样很弯曲。
3. 在约率和密率之间还有一个近似值333/106，这个在两个图中不明显，预测题主将500000缩小到200000左右可以看到333=3*3*37的现象，大概是每隔3,37,3*37会出现空白线条。
4. 下一个(连分数)近似是在103993/33102出现的，数据量太大，就不考虑了。
5. 可能写的有点乱，大家见谅，能明白意思我就很欣慰了。

------------------------------------------------我是分割线6.25凌晨更新-------------------------------------------------

• 斐波那契螺旋线

引自百度百科

斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。斐波那 契螺旋线，以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。

这个问题中的螺旋线，由于旋转角度均匀，斐波那契螺旋是不均匀的，很明显不是斐波那契螺旋。

• 每个点的方程

感谢技术宅，若是素数，则

由于

这样

不好解，为了方便起见，我们把坐标对调

即：

画出图的效果如下

只是将左旋变为右旋。

每个点新的极坐标方程为

• 每一根空白线的方程

约率决定的线——

把所有的自然数按照

用点线画出来

局部放大效果

我们可以发现，相邻两个自然数的极坐标，半径增加了，角度逆时针旋转了弧度(rad),而

按照约率，，也就是说，如果是悬臂上的一个点，那么它之后的一个点就是(这里的单位是弧度，化到区间还需要除以取余数)。

由于上面的结论，单条悬臂上的点组成的集合为

----[注意，由于本题的特殊性，，点集的极坐标方程就是，下同]

我们取，画出两条中心对称的螺旋线，如下图

来一张没标记颜色的(蚊香有木有！！！)

我们现在来探讨单根螺旋线的极坐标方程

上面的图是用划出来的，如果讲点列连续化的话，我们只需要将连续化，即让，变为。

比如将代入连续化的方程，我们有

令

就变成

,

这个与连续化方程形式一样，说明

时，点还在原方程上。

这样我们就得到了，单根螺旋线的极坐标参数方程——

密率决定的线

首先我们将约率和密率比较下精度

约率需要两个数相差多少，一条螺旋线才能旋转一周呢？

答案是跨度需要，才能看到螺旋线旋转了一个圆周

同样的

由于密率的精度比约率高出许多，需要两数相差7400万，才能旋转一周

下面用500万以内的质数画图，几千万级别的，点太多反而不清楚。

密率螺旋线的极坐标参数方程

方法和约率时讨论的一样，只要把44换成710，就ok了

，数值上

那到底这个螺旋线是什么螺旋线呢？

答案就是阿基米德螺旋线

不过由于我们将x,y调换了位置后才得到的方程，而如果不将x.y对调的话，就需要将变为，不变。

下面我们探讨白色缝隙的条数，宽度，以及宽缝的不均匀性。

现在要讨论螺旋中空白的部分，我们不妨换个思维，质数画出的螺旋图像中空白的部分都是合数的部分(因为产生质数向量的时候，直接把合数踢掉了)。所以我们只要画出合数的螺旋图，将颜色反转，就得到了质数螺旋的图像。根据这个思路我们做如下分析。

合数中，数量最多的自然是被最小质数2整除的合数

设数量上限为10000，那么10000以内被2整除的数的个数为

，其中表示的整数部分。

同样被质数3，5,7整除的数的个数为

可以看到，自然数之内被任意质数整除的数的个数为

而如果要把之内，所有的合数踢掉，只要把内的所有素数都找出来，然后对每个质数，2,5,7...,其中表示小于中，最大的质数。

至于为什么是，而不是其它的数，我们可以这么想：如果一个数能分解成两个数和的乘积，即

又

所以与中较小的那个必然比要小，只要是合数，必然会被之前的质数踢掉。

不过这种按照质数的顺序先后，踢掉质数后面的合数的方法，对于有些数来说踢掉了不止一次。比如，被2踢掉一次，又被3踢掉一次。

以上的这种质数踢掉合数的算法，是数论中由古希腊人提出的Eratosthenes筛法，虽然显得很笨拙，但是至今并没有更好的筛法出现，听说陈景润在文革时期破解哥德巴赫猜想的过程中，就是用这个方法解决的{1+2}。相信学编程的同学，肯定是不会陌生的。

好，回到正题，先看看被2踢掉的10000以内的合数在图像上有什么特征呢？

图像是如此的对称，也跟质数画出的螺旋很像，这就是在约率控制下的质数螺旋图中空白部分最主要的组成部分。

再看被3踢掉的合数图像

我看着都有点眼花缭乱的感觉，既像右旋，又像左旋。不过还是蛮对称的。

这是因为

弧度=6.2832，被3除以后还留着一个0.2832，所以大约转了6圈，还有0.28弧度的差额。而0.2832弧度再乘以22就等于6.23007675，弧度只差0.05311左右 ，所以再多过22个循环，我们又看到了一条看似连着的线。反正3的倍数中有很多与的倍数相近，如果3的倍数比的倍数小，也就是3的倍数走的慢，我们就会看到图像中的右旋，如果3的倍数比的倍数大，我们会看到左旋，因为走得快。这里如果详细分析起来，会很绕，很麻烦，大家理解个大概的意思就行了。

如果我们将3的倍数螺旋图，按照点的先后顺序按照线段连接，会有惊喜哦！！！

这个如果刺长得少一点，会像青天白日旗。我相信，随着质数的不同(比3大的)会更似青天白日旗。

下面还有一些局部放大图。

这是内部的。像鸟巢，我有理由相信，鸟巢的设计师用直的钢管围出的网状立体图，可能借鉴过与此图类似的图形，才获得那么美妙的灵感。

这是外沿的

还有中间的

下面是被5踢掉的合数

和3的差不多，就不细分析了，继续上图。

中间明细看到正五边形的轮廓。

继续上图，直到质数11为止(因为质数11会有质数2相类似的图，猜测有4根螺线)

被7踢掉的合数

内部右旋，外侧明显左旋。

中间有立体感。

被11踢掉的合数

这是重头戏，和预测的完全一样，约率中的22，两倍为44=4*11，图形中能明显看到4条右旋臂，其中2条与被质数2踢掉的悬臂重合，还有两条正好夹在2的两条悬臂中间，一共凑成3条悬臂。

为了详细说明这点，我们将2踢掉的合数和11踢掉的合数，放在一个图形中看。

左边和右边那根红色和蓝色重合的线，为既能整除2，又能整除11，即整除22的螺线。上下两根为仅仅能整除11的螺线，它们与相邻的两条被2整除的线合在一起，就成了一条跨越3个螺线的空白带。这也就解释了下图中最宽的空白带。

至于这个素数图中第二宽的空白带，就是由于那些只被2整除，不被11整除的合数引起的。而每条有素数的旋臂中那些断断续续，不太规则的空白点，就是由那些诸如，3,5,7,13,17,19等质数踢掉的合数所干扰的，因为3,5,7,13,17,19等质数所抠掉的和数，分布没有2,11踢掉的和数有如此相似的规律。这有点像物理中的共振，当物体自然振动频率，和外界施加周期性振动频率想吻合，就造成了共振。这里2,11有共振的特征，而其他的质数虽然各自都有自己的频率，但是汇集到一起，就显得很乱了，对总的质数旋臂图像，就只能停留在小打小闹上，把每条旋臂左抠一个洞，右抠一个洞。

补充被11抠掉的合数所作的线段连接图。

这怎么看怎么像一个纳粹卍字图标。

看到这里，我希望众位知友再去看看我之前粗略写的，也就是开头的部分。相信大家由这里详细的分析能看懂关于密率里面的，5,71的相关内容。

简单说就是，在数据量增大时，就到了密率的控制区，会有5条中心对称的大空隙，和71条稍微小一点的空隙，至于5条大空隙中为什么少了一条，还是留给众知友思考吧。等到差不多的时候，我会附上后面的分析。

回答完毕。睡觉去了。。。

--------------------6.28更新--------------------

根据评论区

的提醒，之前给出的极坐标连续化方程有漏洞，不能成立，特此更正。至于什么样的方程才是合适的连续方程，而且要满足间断点列都在方程上，这里面还是有点困难，应该与的无理性有关。本人水平有限，还没搞定。具体的还等大家一起思考。

回到之前留下的疑问，对于密率确定的螺旋线，这里给出缝隙宽度的分析方法

螺旋宽度的定义

首先，我们定义一条合数螺旋线的宽度为1，两条相邻的螺旋线宽度为2，以此类推；

如果总共有N条相邻的螺旋线在一起，我们称它的宽度为N。

素数螺旋中的空白带状区域是由合数产生的，下面依然采取分析合数的宽度，来确定素数图像中的白色带状区。

我们将自然数集合按照710的剩余类做一个划分，即

同样的，将如果按照2,5,71的剩余累划分我们有

可以发现，2的剩余类是偶，奇间隔排列；5的剩余类隔5个数循环一次，71的隔71循环一次。也就是说对于0,1,2,3...709这710个数，分别隶属于2,5,71的某个剩余类中。

为了让大家看清楚这种间隔隶属关系，我做了一个excel表格，百度网盘地址

。需要注意的是，表格中有n个相邻的数为2,5,71倍数，则说明在这一块区域就宽度n。

希望大家仔细看完表格，再看我下面的分析。

宽度的判定

对710进行因子分解得到

对于因子2，如果自然数集合之中

，设，则一定为合数

（其中为同余符号）

这就决定了，每间隔一个数，就会出现一条纯合数螺旋线，宽度为1，这样的螺旋线共有条。

对于因子5，若则表示对应的自然数分别被5,2,2整除。也全是合数

至于那就有可能是质数了。

当且说明t被5整除，不被2整除，由于因子2所形成的螺旋线，必是间隔排列，满足且的螺旋线必然在2的两条螺旋线中间(不被2整除，就只能在夹缝中求生存)，这种情况下，就产生了三条(一个5,两个2)相邻的螺旋线，宽度为3；总共有条

当或时，能被2整除，所以它与2的螺旋线重合。不会显示在图形中；

当，有可能为合数，有可能为质数，这种情况顶多在质数螺旋线中间挖许多小洞洞。不会影响螺旋线的大体走势。

至于因子71

当时这样的数共有10种，我们详细讨论下

与2,5均互质，由于t=70时，70是2和5的公倍数，5在这里不起作用，这样就只有

70,71,72三条螺旋线，宽度为3；

被2整除，只有142一条螺旋线，宽度为1；

212,213,214,215,216——5条螺旋线，宽度5

其中212,214,216为2螺旋线，213为71螺旋线，215为5螺旋线；

被2整除，效果不表现出来，但是284,285,286中285被5整除，284,286被2整除，所以这里有3条螺旋线，宽度3；

，，，

这四个，分别被5,2,2,2(5),整除，宽度分别为3,3,1,1

由于这里既不是2，也不是5的因子，所以他是独立的，而附近的495为5的倍数，介于两个2的倍数494,496之间。所以这一块形成一个宽度为5的螺旋带，5个数分别问494,495,496,497,498.

宽度为3，分别为638,639,640.

结论：最宽的为宽度5，有2条；次宽的宽度为3，有5条；最次宽度1，有3条。

其中能被2或5整除的共有35+14-7=42个小类，能归类到2,5的类去，都为合数，而且和2,5确定的螺旋线重合。对图形不影响。

还有28小类，中间有质数存在。

这里采用了穷举法，来分析每个类别。如果用简单的语言来描述，那就是：将710以内的数，找出被2,5,71整除的数，全部从大到小排列，再从这个排列中找连续的3个或5个自然数，就是宽度为3,5的带；那些落单的自然数，自己单独呈一条小小的螺旋线。

一点也不像斐波那契螺线，倒是有点像阿基米德螺线。

其实本身就是阿基米德螺线，如果把素数部位染色，那么合数的位置就是阿基米德螺线的一段，两个素数之间的空隙可以任意大，当大到一定程度时，阿基米德螺线的弧段就会足够长，变得显眼。

不过仅此还不足以解释左边那个图，应该还有某些类似周期性的偏差拼在一起的结果。

而右边那个图，长的阿基米德螺线已经非常细，无法看出，较短的一些空隙则因为类似周期性的出现而拼在一起形成白色带。

我说类似周期性的，什么意思呢？

比如说偶数除了2以外都是素数，所以除了2以外，素数都是2k+1的形式。

类似地，除了2，3以外，素数都是6k+1和6k+5的形式。

那么6k+2,6k+3,6k+4的位置就有连续的空白，过6个数又有这样的空白。

卷缠多圈之后，这些空白就可能显现出某种图案。

大致就是这样，当然细致的分析比较繁琐。