有没有证明某函数不存在初等表示的一般思路？ 第1页

今儿翻过往关注的问题居然翻到了这个, 正好有心情写两句, 于是......

首先来考虑一下怎么样严格地表述"初等函数". 从问题的提法来看, 我们能够感觉出来这跟"代数方程能否用根式解出"实际上是类似的; 所以Galois理论的某种类似物在这里会很有用.

这里要考虑的不是一般的域的代数扩张, 而是所谓微分域(differential field)的扩张. 所谓微分域, 在这里是指一个特征零的域, 其上带有一个微分运算, 即一个映射, 适合于

.

显然, 这就是微积分中熟悉的导数的可加性和Leibniz律. 所谓微分域扩张, 就是一个扩张, 使得也是微分域, 而它的微分运算在上的限制恰巧等于的微分运算. 容易看出, 如果运算的零集(即使得的那些的集合)不是{0}, 那么它就是的子域, 称作常数域, 可以记作. 在不至于混淆的情况下, 微分运算也常常简单地记作 ' . 最常见的例子就是, 即复数域上的有理函数域, 微分运算就是通常的导数, 常数域就是复数域, 而最容易想到的微分域扩张就是代数函数域.

有了这些基本的概念, 就可以定义初等函数了. 设是添加某个元素的微分域扩张. 若存在一个元素使得, 则说是的指数; 若存在一个元素使得, 则说是的对数; 若存在一个元素使得, 则说是的积分. 显然, 这三个定义都是对微积分中相应定义的直接推广. 在此基础之上, 来研究一个微分域扩张. 假设它是由有限个扩张塔复合成的:

,

其中每个即都是单扩张. 假若这每一个中间域扩张都是添加指数, 对数或者代数元而生成的, 那么就说这扩张是一个初等扩张; 假若除了指数, 对数和代数元以外还允许添加积分, 那就说这扩张是一个Liouville扩张. 显然Liouville扩张的概念比初等扩张的概念要广. 在的情形, 我们所熟悉的初等函数就等价于它的初等扩张中的元素. 而显然某些熟悉的特殊函数, 如误差函数, 指数积分, 对数积分, Fresnel积分, 椭圆积分等等, 都是有理函数域的Liouville扩张的元素.

显然, 这跟Galois理论中的根式扩张的概念是平行的. 更近一步来说, 一个不甚严格的类比是: Liouville扩张相当于有理数域的根式扩张, 而初等扩张相当于有理数域的实根式扩张.

这里给出一个属于Liouville的定理.

设是微分域, 元素在中没有积分. 则的积分属于的初等扩张, 当且仅当存在常数和元素, 使得有表示

现在先宕开一笔, 看看普通的Galois理论与微分域扩张理论的平行之处.

相应于一元代数方程, 自然可以定义微分域上的一元线性齐次常微分方程:

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通过微分方程式理论中标准的手续, 可以把它化归成更一般的矩阵形式:

,

这里是中的一个待求解的元, 而.

相应于有限扩张的Galois理论中的分裂域, 在微分域扩张理论中有所谓的方程的Picard-Vessiot域. 粗略地来说, 它是的包含着这方程的"所有"解的"最小"微分域扩张. 严格定义如下:

设有矩阵微分方程. 微分域扩张称作是相应于这方程的Picard-Vessiot域扩张, 假如它适合下面的条件:

(1)的常数域与相同, 即都是.

(2)存在基本解方阵, 即满足的方阵.

(3)是一个由的矩阵元生成的 -代数 .

显然这个定义是分裂域的推广. 自然地, 会有如下定理:

设有矩阵微分方程. 则存在相应这方程的一个Picard-Vessiot域扩张. 在微分域同构的意义下, Picard-Vessiot域扩张是唯一的.

有了"分裂域", 就可以定义Galois群了. Picard-Vessiot扩张的微分Galois群定义如下:

定义为微分 -代数的所有自同构, 即满足的-代数自同构.

容易看出, 每一个都可以表示成一个方阵. 更精确的定理如下:

可以嵌入为中的代数子群 .

特别地, 在复数域上有理函数域的情形, 这意味着是复李群.

Galois对应也是成立的:

设有矩阵微分方程, 其Picard-Vessiot域为, 微分Galois群为. 则有一对一的Galois对应, 即把的(Zariski)闭子群对应到在作用下不动的的元素(不动子域). 闭子群 是正规子群当且仅当在 的作用下不动; 此时, 是某个上矩阵微分方程的Picard-Vessiot域. 最后, 设是 的包含单位元的分支, 则(通过Noether环的简单性质)是有限群, 是有限Galois扩张, 有Galois群 , 且包含于在中的代数闭包里.

接下来的这个定理就是根式可解性判别法的推广. 但相比微分方程Galois理论的诸多应用, 这个结果反倒显得有些逊色了:

设微分域扩张是某矩阵微分方程的Picard-Vessiot扩张, 微分Galois群为. 则下面三件事是等价的:

(1)群是可解群.

(2)是Liouville扩张.

(3)包含在某个LIouville扩张里.

于是, 我们可以总结出一个判定某些上的线性微分方程的解是否是初等函数的办法:

研究相应的微分方程的Galois群; 如果它的单位分支不是可解群, 那么微分方程的解不仅不是初等函数, 甚至都不能包含在的Liouville扩张里.

当然, 实际计算微分Galois群与计算多项式的Galois群一样, 总是很困难的. 但是对于判定是否是初等函数的问题, 有一个特别快速的办法. 从Galois对应出发, 可以证明下面的定理:

设有线性微分方程, 系数在微分域中, 而Picard-Vessiot域为. 若这方程有一个非零解落在的某个Liouville扩张里, 那么必定存在一个解使得("对数导数")是的代数元.

这个判别方法对于数理方程中常碰见的二阶线性常微分方程就很好用了. 以Bessel方程为例. 熟知半整数阶的Bessel函数是初等函数, 而相应的两个Hankle函数的对数导数都是有理函数. 而对于非半整数阶的Bessel微分方程, 通过积分表示得到解的渐近公式, 即可看出, 它们没有任何非零解能满足上面定理中的条件. 从而非半整数阶的圆柱函数甚至不可能落在的Liouville扩张里, 更不可能是初等函数. 用类似的思路研究一下常见的二阶线性常微分方程, 就会发现, 除了一些极其特殊的情况外(例如Legendre函数退化成Legendre多项式), 数理方程中的大部分由二阶线性常微分方程定义的特殊函数都不是初等函数.