为什么测度论要建立在σ-代数上？ 第1页

首先我们从数学建模的角度来看待概率公理.

考虑概率测度,自然应该首先收集若干事件构成一个集合, 也就是说我们首先要取样本空间 $Omega$ 的若干子集来构成一个集合, 不妨我们将这个集合记为 $mathscr{F}$, 现在我们暂时不管这个集合具有什么结构, 从概率测度的角度来看, 我们首先看看概率应该满足哪些公理或者说假设.

也就是说,我们考虑定义在集合 $mathscr{F}$ 上的函数,

$$

P:mathscr{F} o mathbb{R},A mapsto P(A)

$$

经过仔细分析古典概率模型我们就会发现, 我们应该对 $P$ 作如下的假设.

* 规范性,即 $P(phi)=0$,

* 非负性: 即对于任意的 $A in mathscr{F} $, 应该有 $P(A)geq 0$.

* 规一性: $P(Omega)=1$.

* 可数可加性: 即 $A_n in mathscr{F}$, 且 $A_m cap A_n= phi, forall m,n in mathbb{N},m eq n$, 则有

* $$

P(cup_{n=1}^{infty}A_n)=sum_{n=1}^{infty}P(A_n).

$$

现在我们来推敲上面的假设所蕴含的潜在假设, 事实上, 由于规范性和规一性假设, 显然有

$$

phi ,Omega in mathscr{F}

$$

在可数可加性的假设中, 事实上由如下 的潜在的假设:

> 若 $A_n in mathscr{F}$, 且 $A_m cap A_n= phi, forall m,n in mathbb{N},m eq n$, 则 $cup_{n=1}^{infty}A_n in mathscr{F}$,

也就说要求 $mathscr{F}$ 对无交并是封闭的.

继续观察可数可加性假设, 我们发现还蕴含着别的潜在假设.

事实上, 由于 $P$ 具有可数可加性, 那么我们取有限个两两不交集合 $A_1,A_2,dots,A_n in mathscr{F}$, 自然我们可以在后面添加无穷多个 $phi$ 构成序列

$$

A_1,A_2,dots,A_n ,phi,phi,dots

$$

那么由可数可加性就有

$$

egin{align}

P(cup_{k=1}^{n}A_k)=P(cup_{k=1}^{infty}A_k)=sum_{k=1}^{n}P(A_k)+sum_{k=n+1}^{infty}P(phi)

end{align}

$$

由于 $P(phi)=0$,这就导致 $P$ 有限可加性, 即若 $A_1,A_2,dots,A_n in mathscr{F}$ 两两不交, 则

$$

P(cup_{k=1}^{n}A_k)=sum_{k=1}^{n}P(A_k)

$$

我们运用这个事实, 任取 $Ain mathscr{F}$, 当然有 $A cup A^c=Omega$, 因此由有限可加性应该有

$$

P(Omega)=P(A)+P(A^c)

$$

这就是说 $A^c$ 应该在 $P$ 的定义域中,也就是在 $mathscr{F}$ 中, 换句话说, $mathscr{F}$ 应该对补运算封闭.

现在综合起来,我们已经发现在概率公理中对 $mathscr{F}$ 要求必须要满足如下性质.

* $phi ,Omega in mathscr{D}$,

* 补运算封闭,即若 $A in mathscr{D}$, 则 $A^c in mathscr{D}$,

* 对可数不交并封闭: 即若 $A_n in mathscr{D}$, 且 $A_m cap A_n= phi, forall m,n in mathbb{N},m eq n$, 则 $cup_{n=1}^{infty}A_n in mathscr{D}$,

这不是别的, 这就是鼎鼎大名的 Dykin 类的条件, 也就是说在概率公理中隐含着要求 $mathscr{F}$ 是一个 Dynkin 类的条件.

(我并不清楚Dynkin 当初是怎么提出Dynkin 类这个概念的, 事实上我怀疑他就是从概率公理中提炼出这个概念)

但是 Dynkin 类还不是 $sigma$ 代数,但是其已经非常接近 $sigma$ 代数的要求了.

那么 Dynkin 类与 $sigma$ 代数 还差多远呢, 答案是还差一个有限交封闭条件,也就是说

> 事实上如果我们对 $mathscr{F}$ 要求对交运算封闭, 那么 $mathscr{F}$ 就将构成 $sigma$ 代数.

当然,我们有什么理由拒绝 $mathscr{F}$ 对交运算封闭类, 这也就是说, 如果 $A,B$ 都是事件,我们却不承认 $Acap B$ 是事件, 这显然不自然, 因此我们应该要求 $mathscr{F}$ 对有限交封闭, 也就是说要求概率测度 $P$ 的定义域是一个 $sigma$ 代数是自然事情.