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怎么用正切函数连分数展开式证明圆周率是无理数? 第1页

  

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这是瑞士数学家约翰·海因里希·兰伯特(Johann Heinrich Lambert)最早做出的证明,也是人类第一次证明圆周率是无理数。britannica.com/biograph

这个证明过程用高中数学足够理解。

在正切函数的无限连分数形式下

我们假设

那么

将分子分母同乘以b

在这个连分数下,分子都是 ,而分母是不断增大的

那么总会有一个 使得 从而 且

且如果A是无理数,那整个 也就是无理数。

现在我们假设A是有理数,那么

同时

两边取倒数,再整理可得

因为 那么设

而同样的 ,所以

以此类推,可以得到一个无限递减的正整数序列

而 是有限大的整数,这样的序列不可能存在,所以A不可能是有理数。

所以 是一个无理数。即有理数的正切值肯定是一个无理数。

最后

如果π是有理数,那么 也是有理数,那么 是一个无理数。

但 ,1 是有理数,矛盾。

所以,π是一个无理数




  

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