1000桶水，其中一桶有毒，猪喝毒水后会在15分钟内死去，想用一个小时找到这桶毒水，至少需要几头猪？ 第1页

这道题看起来像是一道算法题，本质上却是披着猪皮的信息论问题。解答这道题并不是我的目的，我的目的是用信息论的思维来思考，达到触类旁通，一通百通。

用信息论去思考的另一个好处就是，信息论给了这类问题的一个边界，让我们在边界范围内思考问题。很难想象，70多年前的香农已经用严格的理论证明为这类问题设定了一个极限，任何想逾越这个极限去解决问题的人最后都会被证明是徒劳的。

这也是理论武装头脑的好处，当别人还在尝试是否有更优的解法时，你可以直接给出最优答案，用信息论降维打击。即使我可能暂时无法想出具体的方案，但我知道这类问题的一个理论极限在哪里，没有必要为超越极限做无用功。

所以，在解题之前我觉得有必要补充一下理论知识，让我们了解一下信息论中“信息熵”。

信息熵

1. 热力学中的熵

熵的概念最早起源于物理学，用于度量一个热力学系统的无序程度，也就是系统混乱程序。

熵增定律指出：

在一个孤立系统里，如果没有外力做功，其总混乱度（熵）会不断增大

熵增定律让我们知道，如果将一杯热水和一杯凉水倒在一起，并且不对水杯中的水做功，这杯水的冷热分子最终一定呈最混乱的分布，也就是最终整体温度均匀分布，绝对不会出现冷热水分层的现象。

如果把宇宙当成一个孤立系统，那么宇宙一定是从有序变为无序混乱的状态，当宇宙的熵达到最大值时，宇宙中的其他有效能量已经全数转化为热能，所有物质温度达到热平衡。这种状态称为热寂。这样的宇宙中再也没有任何可以维持运动或是生命的能量存在。

2. 信息论中的熵

在信息论中，熵的概念和热力学中是类似的，描述的是“信息的不确定程度”。

• 热力学熵：系统的混乱程度
• 信息熵：信息的不确定性的度量

所以信息中的不确定性类似于热力学中系统的混乱程度。

所以也就是说，信息的不确定程度越大，信息熵也就越大。那什么样的信息不确定程度大呢？

比如抛一枚硬币，如果我来猜正反的话，那么我基本只能靠瞎蒙，因为不确定程度很大，正反的概率都是0.5。对于抛一次硬币猜正反这类事件来说，它的不确定程度很大，信息熵也很大。

如果中国男足和巴西男足比赛，让我来猜胜负，那么我几乎可以断言，巴西队一定会赢。也就是巴西队和中国队胜负这个事件的不确定程度很小，信息熵也就很小。

如果比赛后巴西队真的赢了，那么这条信息的信息量几乎为零，因为这条信息几乎没有降低信息的不确定度。

上面提到了信息熵、信息、信息量，它们之间的比较如下：

• 信息熵是一个绝对值，用来衡量信息不确定程度的绝对大小。
• 凡是在一种情况下能减少不确定性的任何事物都叫信息，否则叫作废话。比如经常会碰到有人絮絮叨叨，不知所云，说了好久不知道要表达什么。从信息论的角度来看，这些话就不包含信息。
• 信息量是一个相对值，表示的是在某个具体事件发生以后所带来的的信息。显然，事件发生的概率越低，当事件发生了以后带来的信息越大，说明信息量越大。比如福彩35选7，如果有人直接告诉你这7个数字，开奖了以后竟然是一样的，那么这条信息的信息量就超级大。又比如某报刊登了男明星A出轨的消息，因为我们已经知道男明星A本身就很渣，出轨也在情理之中，所以这则消息的信息量就很低。

上面都只是定性的分析，香农把随机变量X的熵值 Η定义如下，其值域为{x1, ..., xn}

b是对数所使用的底。当b = 2，熵的单位是bit。

P为X的概率质量函数（probability mass function），我们可以理解为事件xi 发生的概率。

公式看起来可怕，其实非常简单。

让我们用抛硬币来举例，“抛一次硬币是正面”这个随机变量X的信息熵为

也就是抛一次硬币是正面这个事件的信息熵只需要1 bit，也就是只需要用1位的二进制数就可以表示这个信息大小。

题目的简化版本

在我们学习了信息熵的知识以后，让我们再来看题目。原题其实略微复杂一些，先将题目简化一下。

1000桶水，其中一桶有毒，猪喝毒水后会在15分钟内死去，想用15分钟内找到这桶毒水，至少需要几头猪？

上面这道题其实也是当年google的一道面试题，只不过面试题中的小白鼠在这里被替换成了猪。原题是多次试验问题，简化后的版本是单次试验，更容易看到这道题的本质。于是我们利用上面介绍的信息熵的知识来求解一下。

首先，”1000桶水其中有一桶有毒“这个随机变量X的信息熵为

1只猪喝水以后的要么活着，要么死去，一共有两种状态，所以”1只猪喝完水以后的状态“这个随机变量Y的信息熵为

n只猪喝完水会有 种状态，即"n只猪喝完水以后的状态"这个随机变量Y的信息熵为

所以，按照题目要求，如果至少需要n头猪能够找到这桶毒水，那么随机变量Y的信息熵必须要大于随机变量X的信息熵，也就是

H(Y) >= H(X) ，也就是 n >= 9.966，即 n = 10

当我们用信息熵算出来了n的最小值以后，我们就可以坚信，理论上n=10一定是最优解，任何想方设法想找到小于10的值都是徒劳的。

其实，上面的信息熵计算的简化版本可以写成如下更好理解的形式

同样可以解得 n = 10 ，虽然形式简单，但我们一定要记住它背后的原理是信息熵。

至于到底采用什么方案，这涉及到术的层面，即使我们暂时想不到，我们也会有努力的方向，并且知道努力的边界在哪里，不会做类似寻找永动机的事情。

下面我们来看下图具体的方案

我们将1000桶水按照2进制编码，如上图第一行，需要10位二进制数。于是有

• 第1桶水对应上图最右侧位置1的数字是1，其它数字都是0，也就是00000 00001b，其中b代表二进制数。
• 第10桶水对应上图位置4和位置2的数字是1，其它数字都是0，也就是 00000 01010b。
• 同理，任意一桶水，都可以对应上面唯一的一个二进制数。

于是，我按照如下方案让猪进行喝水，如上图所示：

• 1号猪喝位置1的数字是1的水，也就是1、3、5、7、9 ...
• 2号猪喝位置2的数字是1的水，也就是2、3、6、7、10 ...
• ...
• 6号猪喝位置6的数字是1的水，也就是32、33、34、35、36 ...
• ...

如果15分钟后1，3，5号猪被毒死，那么对应的二进制编码就是00000 10101b，也就是21号水桶有毒。更一般的，猪死的任何一种排列方式都对应了二进制的唯一编码。

这里为什么采用二进制的编码方式？

首先，我们要理解为什么计算机内部运算都采用二进制的方式，这是因为开关电路在计算机中实现起来非常简单，而开关两种状态正好对应了二进制的0和1。老式的计算机都是用继电器的开关实现的，而现代计算机也是利用逻辑电路的通断实现高低电压来表示0和1。所以计算机内部的运算其实都是将其转化为二进制再进行运算的。

而猪的生死正好对应了计算机中的开关电路，所以我们这里采用二进制进行编码。

而原题目多次试验的情况就不能采用二进制编码了。

原题目

1000桶水，其中一桶有毒，猪喝毒水后会在15分钟内死去，想用一个小时找到这桶毒水，至少需要几头猪？

有了前面简化的版本的理解，我们容易得知

”1000桶水其中有一桶有毒“这个随机变量X的信息熵为

而对于猪的状态就不太一样了，我们可以想象一下，一只猪在一个小时内会有几种状态？

1. 在第0分钟的时候喝了一桶水以后，第15分钟死去。
2. 第15分钟依然活着，喝了一桶水以后，第30分钟死去。
3. 第30分钟依然活着，喝了一桶水以后，第45分钟死去。
4. 第45分钟依然活着，喝了一桶水以后，第60分钟死去。
5. 第45分钟依然活着，喝了一桶水以后，第60分钟依然活着。

可见，1只猪1个小时以后会有5种状态，所以”1只猪1个小时后的状态“这个随机变量Z的信息熵为

n只猪1个小时后会有 种状态，即"n只猪1个小时以后的状态"这个随机变量Y的信息熵为

所以，按照题目要求，如果至少需要n头猪能够找到这桶毒水，那么随机变量Y的信息熵必须要大于随机变量X的信息熵，也就是

H(Y) >= H(X) ，也就是 n >= 9.966 / 2.3219 = 4.292，即 n = 5

事实上，对于 n = 5来说，不仅可以检测1000桶水，甚至检测3000桶水都是没有问题的。有兴趣的童鞋可以试着计算一下。

到此，香农给了我们一个理论极限，但是具体的方案还是需要我们自己进行构造。得出n=5是依靠我们的理论功底，而得出具体的方案就是我们的工程水平了。

根据前面简化版本的二进制编码方式的思路，我们是不是可以利用猪的5种状态构造一个5进制编码方式呢？如下图所示。

首先，将1000桶水按照5进制编码的方式排列，如上图所示，需要5位5进制数。

然后按照如下方案让猪进行喝水，如上图所示：

• 1号猪第0分钟喝位置1的数字是1的水，如图所示，也就是1、6、11、16、21...
• 如果第15分钟活着，喝位置1的数字是2的水，如图所示，也就是2、7、12、17、22...
• 如果第30分钟活着，喝位置1的数字是3的水，如图所示，也就是3、8、13、18、23...
• 如果第45分钟活着，喝位置1的数字是4的水，如图所示，也就是4、9、14、19、24...
• 类似的，2号猪喝位置2的水...

上面，猪的编号代表5进制编码数字所在的位数，1号猪代表最末位，5号猪代表最高位。而第几分钟死代表当前位数的权重，15分钟死表示权重是1，30分钟死表示权重是2，... ，60分钟死表示权重是4，60分钟依然活着表示权重是0。

如果1号猪第30分钟死了，2号猪第15分钟死了，3号猪第45分钟死了，4，5号都活到了最后。则毒水对应的5进制编码是

也就是第82桶水有毒。

到此，这个问题从理论和工程上都给出了答案。信息熵让我们明确了工程上努力的方向并明确了那条不可逾越的鸿沟。

熵的拓展

前面提到了热力学中的“熵增定律”，其实在社会中“熵”也有重要的意义。

对于国家来说，如果闭关锁国，相当于一个孤立系统，就好比鸦片战争前的清政府，不与外界进行交流，也不进行贸易，也就相当于没有能量的交换，最终的结果必定是“熵增”，即越来越混乱，越来越没有效率。

所以必须保持对外开放的政策，与外界环境不间断的交换。比如：与世界各国进行贸易往来，招商引资，引进竞争，这些都是“负熵”的表现。

对于企业也是同理，必须引进“负熵”，比如现代化的管理方式，先进的技术等等。否则，企业内部不了解外部经济环境变化，也不了解终端用户，只能是最终能量耗尽而亡。

最后，希望本篇回答让你不仅了解了题目本身，更能知道信息论在解决类似问题时给出的指导意义，让我们具备自顶而下的思考方式，首先直击问题本质，将现实问题抽象成数学或者其他已知问题，然后用理论给出答案的边界，也明确的努力的方向和极限。接下来在工程上，保证在理论边界内去尝试，而不是一味地试图超越理论极限，做无用功。

而常人的做法往往是先尝试一种方案，发现应该还有优化空间，于是逐步优化，但是不知道努力的方向和边界。

所以往往要么在努力的过程中离边界值还有很大距离的时候就放弃了，要么就是试图突破边界而做无用功，要么努力了一大顿最后才发现极限的优化提升空间也只有2%，不得不更换方案。

这可能也是高手与常人的区别，希望本文能让大家了解这种自顶向下的思考方式。

2020-6-10号更新

看到评论中有很多对答案有疑问的，所以补充一下答疑，不一一回复了，谢谢。

1. 有的评论说，一只猪就够，每隔两秒钟喝一次。

请参见题目详情限制条件1

“1.一滴毒水足以导致一头猪的死亡。死亡时间为15分钟内不确定的某个时间点。”

请仔细审题，不是恰好15分钟，而是最长15分钟。猪每隔两秒喝一次即使死了也是无法区分哪桶水有毒的。

仔细审题很重要啊！

2. 为什么题目中在计算猪的信息熵时采用了等概率？

很抱歉，这个我在解释的过程中忽略了。

首先要明确的是，猪在喝毒水的时候生和死的概率确实不一定是等概率的，这个是对的。

比如原题中，对于5号猪来说，因为它喝的水位于5进制的最高位上，所以它活的概率是 。

既然不是等概率，那正文中为什么采用等概率的方式呢？这是因为在计算信息熵的时候，我们考虑的是n只猪所能表达的最大信息熵。

数学上可以证明，当随机事件等概率发生的时候，信息熵是最大的。

题目要求最少n只猪，意思就是在最差情况下用n只猪也能找到毒水。而最差的情况就是每只猪生死的概率是相等的。

所以我们用等概率的方式求出最大信息熵时最小的n，当n再小，最差情况下已经无法测出1000桶水了。

如果你觉得对你有帮助，请帮忙点赞，谢谢。

  doraemon_2112 网友的相关建议: 
      

这是 leetcode 上的原题啊。

我们来倒推。首先，1 头猪在 1 小时内最多能检测几桶水？答案很明显，5 桶。每 15 分钟喝其中一桶水，挂了的话那桶水就是毒水。一小时后还不挂，那最后剩下来的那桶水就是毒水。

再然后，2 头猪能在 1 小时内最多能检测几桶水？答案是 25 桶。我们将这 25 桶水按照 5x5 的方式排列好，第 0 分钟时命令其中一头猪喝第一行的所有水，另一头猪喝第一列的所有水；第 15 分钟时命令它们喝第二行/第二列的水，依此类推。观察这两头猪挂的时间，推断出毒水在第几行及第几列。如果至少一头猪没挂的话：A 猪没挂说明毒水在第五行；B 猪没挂说明毒水在第五列。

再往下推，3 头猪最多能检测多少？答案是 125 桶。把这么多水堆成三维的立方体，命令它们在指定时间喝指定 X 坐标、Y 坐标及 Z 坐标处的所有水，根据 3 头猪各自的死亡时间推出毒水所在坐标。

通过上述倒推，我们可以得知，将 n 个水桶摆成边长为 的 维矩阵，然后让 头猪来做测试可以确保不论水桶放置在矩阵中的什么位置，都能在规定时间内测试出来。同时这也是最少需要的猪数量。当 n = 1000 时， ，但因为矩阵的维度数、边长以及猪的头数在这里都不能取小数，所以这里我们要向上取整，也就是至少要 5 头猪。

以上结论还可以推广到更大的范围：n 桶水（n > 0），其中一桶有毒，猪喝毒水后会在 m 分钟（m > 0）后死去。想用 M 分钟（M >= m）找到这桶毒水，至少需要几头猪？

首先，计算最大测试次数 t。可得： ，结果需要做向下取整处理，规定时间内，不满一次的测试不能算做有效测试次数。

然后，矩阵边长、矩阵维数，以及猪的数量，均为： ，结果需要做向上取整处理，不满 1 头的猪必须要补满至 1 头。

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  gausian 网友的相关建议: 
      

用信息论的方法求出至少是5，其他各种想找出5头猪以下的人可以省点力气。

在1000桶水中找一桶水，需要的信息量是-log(1/1000)。而一头猪所能提供的信息是它在什么时间死，因此能提供的信息量是-log(1/5)。4头猪能提供的信息量是-4log(1/5)=-log(1/625)，不够。5头猪能提供的信息量是-log(1/3125)，刚好够。

至于用什么信息编码方式就见仁见智了，楼上有的回答就很好。

这里只是严谨地证明一下“至少”。

================= update 5.30 =================

1.评论中有回复说“猪会死”，好像是在说猪死了就得不到后面的信息了。其实可以设计算法，让猪在5个时刻中有且只有一个时刻会死。下面简单说一下编码思路：

（就用最简单的坐标法，把题目简化为25桶水用2头猪的情况。）

两头猪可以表示的情况有(0,0),(0,1),(0,2)...(4,2),(4,3),(4,4)，也就是说每种情况要对应某桶水有毒。可以用z=x*5+y的编码方式，z表示桶号码，x表示喂给第一头猪的时刻，y表示喂给第二头猪的时刻。也就是说，第一头猪0时刻喂的水为0,1,2,3,4；1时刻喂的水为5,6,7,8,9，以此类推。第二头猪0时刻喂的水为0,5,10,15,20；1时刻喂的水为1,6,11,16,21，以此类推。这样，如果猪在(i,j)点死，即第一头猪在i时刻死，第2头猪在j时刻死，那么说明第(i*5+j)桶水有问题。显然，猪如果在前四个时刻都不死，那一定会在假设的第五个时刻死。

（题目中1000桶水的情况可以将2维空间扩展成5维空间类似编码）

显然这样的话猪必定在五个时刻中有且只有一个时刻会死，不会浪费信息。

2.有人说恰好第一头猪第一个时刻喂了一桶水就死了，这样立刻就能确定是哪桶水，所以“至少”是一头猪。需要注意的是，“至少”指的是在任何情况下都要能够确定出来，就像算法的时间复杂度，指的是对任何情况都要在这样的时间复杂度内解决问题。

================= update 5.31 =================

3.详细解释一下这里信息量的含义。信息熵的计算公式为 。1000桶水中有一桶水有毒的情况有1000种，要么是0号水有毒，要么是1号水有毒。。。因为没有先验知识，所以只能假设每种情况等概率，用信息熵公式计算信息量就是 ,即log(1000)。

4.在实验中，“猪死”不是意味着后面的信息就获取不到。猪死的情况有5种，由信息论知识，等概率下信息量最大，最大信息量是log(5)约=2.3，(以2为底)。当然这就和实验设计就有关系了，假如有一个极端的实验，对某头猪0时刻喂的水是0-995，1、2、3时刻喂的水分别为996、997、998，（假想的4时刻喂的水为999），那么所得信息量就是 约=0.05，这样的实验设计就不够好。因为它在后4个时刻都只喂一桶水，导致获取的信息量很少。意思就是如果有毒的水在0-995之间，那么你这次实验相当于白费。所以在设计实验时，就要尽量考虑到让猪在这5个时刻喂水的数量平均，总共1000桶水每个时刻就喂200桶的混合，这样获得的信息量是最大的。一只猪表示一个实验，那么一个实验的信息量在设计时就已经确定了，与猪什么时刻死无关。顺便说一下，多只猪为了能确定出更多信息，需要使各个实验相互独立(各实验间互信息要小)。

================= update 6.07 =================

5.谢谢 @云之君兮 的评论，1000桶水即使有先验概率（比如极端情况，有先验概率知道第一桶水有毒的概率是999/1000，其它都是1/999000），也还是需要5头猪才能确定。所以这是要在1000个状态中确定一个唯一状态的问题。需要的信息量还是log(1000)。

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  nian-nian-bu-wang-14-82 网友的相关建议: 
      

答案是5头猪。另外，我附上终极解决方案吧！无论你有1头猪还是999头猪，都可以根据我的方法推断出最少用时。

根据如下表格，当时间限制为60分钟时，最少5头猪就可以保证在60分钟内，搞清楚到底哪桶水有毒。

许多人用信息论和进制编号的方法来计算，作为一名计算机专业的学生，我第一时间想到的却是，二分查找法！理解起来超级简单。

假设你只有1头猪，猪中毒后表现异样但是不会死，那么最少试几次就可以查到有毒的水呢？

首先，我们将所有水桶平均分为两批。随机选取一批水桶，取混合样本，喂给猪喝。如果猪毒发，就代表这批水桶中含有毒水桶。然后将这批水桶再平均分为两批，继续喂给猪喝。在猪没有中毒的情况下，最多试10次就可以遍历所有的水桶。

问题来了，如果猪中毒后直接死了呢？

这就意味着，猪的数量必须大于等于试验次数。如果你的运气不好，每次都抽到有毒的那批水桶，在试验10次的情况下，你得准备10头猪，才能保证任务顺利完成。

把水桶一次平均分为两批做检测太慢了！如果平均分为三批呢？

假设将水桶平均分为三批，那么每次检测至少需要两头猪，进行7次检测（3^7≥999）才可以保准检测出有毒的那批水桶。但是考虑到猪会毒发身亡，2头猪可能无法通过7次检测。

依次类推。

当水桶平均分为5批，每次检测4只猪参与检测，进行5次检测（5^5≥999）才能确保检测出有毒水桶。但是如果4头猪运气不好，在前四次检测中阵亡，第五次检测就没猪可用了。

当水桶平均分为6批，每次检测5只猪参与检测，进行4次检测（6^4≥999）就可以确保检测出有毒水桶。由于每次检测最多只有1批水桶有毒（最多每次死1头猪），那么5只猪至少有2只可以挺到最后一次检测~ 此时4次检测最多用时60分钟，问题解决~

结论

1. 只有当猪的数量大于等于5时，才能确保完成毒水的检测。
2. 当猪为5-8头时，只需要4次检测（60分钟），就可以顺利完成任务。
3. 当猪为9-31头时，只需要3次检测（45分钟），就可以顺利完成任务。
4. 当猪为32-998头时，只需要2次检测（30分钟），就可以顺利完成任务。
5. 当猪大于等于999头时，只需要1次检测（15分钟），就可以顺利完成任务。

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  sun-ao-74 网友的相关建议: 
      

智力障碍
智力障碍(简称:智障)（MR）又称智力缺陷，一般指的是由于大脑受到器质性的损害或是由于脑发育不完全从而造成认识活动的持续障碍以及整个心理活动的障碍。 由于遗传变异、感染、中毒、头部受伤、颅脑畸形或内分泌异常等有害因素造成胎儿或婴幼儿的大脑不能正常发育或发育不完全，使智力活动的发育停留在某个比较低的阶段中，称为智力迟滞。由于大脑受到物理、化学或病毒、病菌等因素的损伤使原来正常的智力受到损害，造成缺陷，则称痴呆。
病因
1.遗传因素：染色体异常如先天愚型等占弱智儿童5%～10%。基因突变如先天性代谢异常病属于此类。
2.产前损害：包括宫内感染、缺氧、理化因素如有害毒物、药物、放射线、汞、铅、吸烟、饮酒、吸毒、孕妇严重营养不良或孕妇患病。
3.分娩时产伤，窒息、颅内出血、早产儿、低血糖、核黄疸、败血症。
4.出生后患病，包括患脑膜炎、脑炎、颅外伤、脑血管意外，中毒性脑病，内分泌障碍如甲状腺功能低下，癫痫等。
临床表现
1.感知速度减慢，接受视觉通路的刺激比听觉刺激容易些；
2.注意力严重分散，注意广度非常狭窄；
3.记忆力差，经无数次重复方能学会一些知识，若不重复学习，又会忘得一干二净；
4.言语能力差，只能讲简单的词句；
5.思维能力低，缺乏抽象思考能力、想像力和概括力，更不能举一反三；
6.基本无数字概念，靠机械记忆能学会简单的加减计算；
7.情绪不稳，自控力差；
8.意志薄弱，缺乏自信；
9.交往能力差，难以学会人际间交往。

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  UNSC711 网友的相关建议: 
      

去打游戏

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  huan-shi-lang 网友的相关建议: 
      

其他也不好说什么，毕竟这个话题太大，以点见面谈一点，最近看天国之秋这本书，里面讲到一句话，第二次鸦片战争期间，英法舰队停在大沽口外的海面上，清政府派人谈判，英国某军官写到，清政府的官员表示根本不在乎英法攻击不攻击大沽口炮台，因为守炮台的全是汉人。就这种民族政策，天天不关心自己百姓的死活，只在乎礼仪的王朝，能好到哪里去

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  li-mu-gen-19 网友的相关建议: 
      

从来没有一家学说可以解决一切问题，应该活学善用，随意捡择以备时需，谈一会儿儒，说一会儿道，你说逍遥不逍遥？

儒学为体，老庄为用，以君子之道持节奉时，善用关窍。法家处理人际关系，墨家平衡社会团体，以兼爱非攻之心明辨忠奸，扫污除垢。以鬼谷之说，持之纵横于列国。兵家天下布武，佛家守持本性，阳明之学说驰骋于商道。名家司法，肯定比十二怒汉还十二怒汉，乐家司礼，CCTV就归你们管了，医者悬壶，农务耕织，一切善法皆可用。

若以黄老看当今天下，需要：

金兰笑吟南国月

波斯巧赋钓鱼诗

天竺敬访先圣庙

东瀛醉戏扶桑姬

黄老说就认为，你要盯着可能会杀你的那几把刀，不管关系好不好，刀就在那里，不增不减，不毁不灭，你打一个手拿搅屎棍的，危机不会解除，要把刀卸下来，危机才能解除，否则就盯着那几把刀就行。要打架，别打印度，打金兰湾，以中东制衡东洋或以东洋制衡中东，跷跷板。

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