百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



一个凸五边形中,已知五条边边长,如何求其最大面积? 第1页

  

user avatar   GalAster 网友的相关建议: 
      

已知五根木棒的长度,摆成面积最大的五边形, 你能写出此时的面积公式 吗?

这个问题其貌不扬, 看似不过是初中几何入门练手题.

但事实上,这个公式不存在.

这个结论有点出乎意料,毕竟三角形有赫伦公式,四边形有布雷特施奈德公式,五边形怎么就没公式了?

会不会和五次方程有点关系呢?

完整证明比较冗长,以图代证缩短证明.

  • 引理一: 凸多边形面积必然大于凹多边形

如果图形是凹多边形,那么通过对称外翻一个点总能使得面积更大.


  • 引理二: 存在唯一变换 使得凸多边形所有点共圆.

取连续三点确定一个圆:

其他点依次吸附到圆上, 然后可能变成一下结果之一:

通过推拉中间的D点根据中值定理总能使得A F点重合.

且这样的形状及其确定的圆是唯一的.

代数证明: 求证:任意多边形都能不改变边长,通过推动各边变形后使其内接于一个圆中?
呵呵, 被威武的小管家干掉了...

  • 引理三: 所有点共圆时面积最大.

让红色部分吸附在边上,推动各点使其变形.

显然, 不管怎样这个图形周长是不变的.

所有周长相等的图形中圆面积最大.

注意到红色部分面积不变,证毕.

原文: Maximum Polygon Area


  • 引理四: 面积最大的多边形与其边的排列顺序无关.
以上命题显然,读者自证不难.

于是根据引理一二三四,以下就是面积最大的五边形.

设该圆半径为 , 已知边长度 ,设边对应的角为 .

根据三角关系有:

所有圆心角之和为

逆用欧拉公式有:

两遍取对数,使用欧拉公式

也就是说半径满足方程:

分析发现这个方程的高度(最高次数)是 ,也就说五边形时要解六次方程.

当然五次方程以上都没有通解,因此五边形边长求面积的公式也就不存在了.


当然可以通过数值计算求出R

然后使用公式:

求出面积.

计算机代数推导表明取 时的面积是某个六次方程的根.

数值结果大约是25.6775,这个结果和遗传算法的数值结果一致.




  

相关话题

  为什么帕斯卡定理涉及的恰好是内接「六」边形? 
  黎曼猜想(Riemann hypothesis)是什么?有什么用? 
  抛掷a0枚硬币,表面朝上的枚数为a1,然后再投掷a1枚硬币类推,这样最后an的概率分布可求吗? 
  数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 
  阿里数学竞赛到底难不难?高考142分能不能去试试看? 
  为何可以用不动点法求数列通项公式,可不可以解释一下? 
  如果Ramanujan,Grothendieck这类喜欢自创体系的数学家在清华北大就读,会否被埋没? 
  数学在高考中占150分你怎么看? 
  如果你来讲物理类《线性代数》课程,你会如何设计? 
  数学里的 e 为什么叫做自然底数?是不是自然界里什么东西恰好是 e? 

前一个讨论
类似微博的 feed 热度算法如何计算?
下一个讨论
IT 行业、金融行业挣得比工程师和科研工作者多,当今社会为什么还有人投身科研与工科?





© 2025-04-04 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-04 - tinynew.org. 保留所有权利