已知五根木棒的长度,摆成面积最大的五边形, 你能写出此时的面积公式 吗?
这个问题其貌不扬, 看似不过是初中几何入门练手题.
但事实上,这个公式不存在.
这个结论有点出乎意料,毕竟三角形有赫伦公式,四边形有布雷特施奈德公式,五边形怎么就没公式了?
会不会和五次方程有点关系呢?
完整证明比较冗长,以图代证缩短证明.
如果图形是凹多边形,那么通过对称外翻一个点总能使得面积更大.
取连续三点确定一个圆:
其他点依次吸附到圆上, 然后可能变成一下结果之一:
通过推拉中间的D点根据中值定理总能使得A F点重合.
且这样的形状及其确定的圆是唯一的.
代数证明: 求证:任意多边形都能不改变边长,通过推动各边变形后使其内接于一个圆中?
呵呵, 被威武的小管家干掉了...
让红色部分吸附在边上,推动各点使其变形.
显然, 不管怎样这个图形周长是不变的.
所有周长相等的图形中圆面积最大.
注意到红色部分面积不变,证毕.
以上命题显然,读者自证不难.
于是根据引理一二三四,以下就是面积最大的五边形.
设该圆半径为 , 已知边长度 ,设边对应的角为 .
根据三角关系有:
所有圆心角之和为
逆用欧拉公式有:
两遍取对数,使用欧拉公式
也就是说半径满足方程:
分析发现这个方程的高度(最高次数)是 ,也就说五边形时要解六次方程.
当然五次方程以上都没有通解,因此五边形边长求面积的公式也就不存在了.
当然可以通过数值计算求出R
然后使用公式:
求出面积.
计算机代数推导表明取 时的面积是某个六次方程的根.
数值结果大约是25.6775,这个结果和遗传算法的数值结果一致.