一个凸五边形中，已知五条边边长，如何求其最大面积？ 第1页

已知五根木棒的长度,摆成面积最大的五边形, 你能写出此时的面积公式 吗?

这个问题其貌不扬, 看似不过是初中几何入门练手题.

但事实上,这个公式不存在.

这个结论有点出乎意料,毕竟三角形有赫伦公式,四边形有布雷特施奈德公式,五边形怎么就没公式了?

会不会和五次方程有点关系呢?

完整证明比较冗长,以图代证缩短证明.

• 引理一: 凸多边形面积必然大于凹多边形

如果图形是凹多边形,那么通过对称外翻一个点总能使得面积更大.

• 引理二: 存在唯一变换 使得凸多边形所有点共圆.

取连续三点确定一个圆:

其他点依次吸附到圆上, 然后可能变成一下结果之一:

通过推拉中间的D点根据中值定理总能使得A F点重合.

且这样的形状及其确定的圆是唯一的.

代数证明: 求证：任意多边形都能不改变边长，通过推动各边变形后使其内接于一个圆中？
呵呵, 被威武的小管家干掉了...

• 引理三: 所有点共圆时面积最大.

让红色部分吸附在边上,推动各点使其变形.

显然, 不管怎样这个图形周长是不变的.

所有周长相等的图形中圆面积最大.

注意到红色部分面积不变,证毕.

原文: Maximum Polygon Area

• 引理四: 面积最大的多边形与其边的排列顺序无关.

以上命题显然,读者自证不难.

于是根据引理一二三四,以下就是面积最大的五边形.

设该圆半径为 , 已知边长度 ,设边对应的角为 .

根据三角关系有:

所有圆心角之和为

逆用欧拉公式有:

两遍取对数,使用欧拉公式

也就是说半径满足方程:

分析发现这个方程的高度(最高次数)是 ,也就说五边形时要解六次方程.

当然五次方程以上都没有通解,因此五边形边长求面积的公式也就不存在了.

当然可以通过数值计算求出R

然后使用公式:

求出面积.

计算机代数推导表明取 时的面积是某个六次方程的根.

数值结果大约是25.6775,这个结果和遗传算法的数值结果一致.