一个具有介值性的函数是否一定存在原函数？ 第1页

谢邀。

我给其他人解释一下什么是达布中值定理：一个函数 可导，那么对于任意 ,可以找到 使得 ，这个性质可以说明任何一个函数的导数（如果存在）是“几乎”是连续的。 这个性质叫达布性质。我们把具有达布性质的函数称为达布函数。设 当 而 当 ，这个函数不满足达布性质，他不可能有原函数，但是它黎曼可积。换句话说，我们给出了一个最简单的黎曼可积但是原函数不存在的函数。

题主的问题就是一个函数如果有达布性质，那么它一定具有原函数吗？一个很自然的问题。

这个问题有两个解法，一个优美的间接方法，一个暴力的直接方法。：第一个优美的方法：任何函数都可以写成两个达布函数的和，如果每个达布函数都有原函数，那么任何函数都有原函数，这是显然不可能。下面的链接包含了完整的证明，里面需要你学过一点实分析。我也附上了完整的证明。其实挺难的。

https:// mathproblems123.files.wordpress.com /2010/07/strange-functions.pdf

第二个“暴力”的方法： 有人构造出了一个函数具有达布性质，但是原函数不存在，这个例子由conway构造出来，学过泛函分析的人知道这位大师。

Conway base 13 function

对了，这个例子我还得解释一下，这个函数特点是无处连续的，但是用Baire纲定理可以证明，一个函数的导数必须在某个地方是连续的(可以证明连续点全体必须是一个稠密的集)，自然不可能无处连续。这个结果的完整论述需要学过泛函分析，我不清楚题主学过没有。