数学分析究竟在讲些什么？ 第1页

然后我们还知道,在二维的空间中定义的球实际上就是圆盘。在一维空间中定义的球,就是区间。我们甚至还可以在更高维度中定义球的概念。甚至是无穷维。（这里先甭管没有定义度量怎么定义球的问题,其实只要同胚于n-维欧式空间的球就行了。）

所以为了抽象性,为了一个定义涵盖更多情形，我们需要把圆盘修改为球，拓扑空间中抽象的球。

2.

其中符号B(A)表示以拓扑空间中点A为球心的球。

有了以上两点以后,聚点一般的定义可以定义为:

是定义在拓扑空间 中的序列，如果存在点 , 满足:
任意以A为球心的球 中至少包含这个序列的无限项。
则称这个点 为序列 的聚点。

那么极限就可以抽象的定义为：

被定义为 ,其中 就是以A为球心的球

这句话翻译一下就是在说，如果序列存在极限A，那么存在一个N，使得以A为球心，任意做球。球里面包含了N以后的序列的所有项。那么这意味着，球外面只有有限个序列的元素。

对比最开始的直观感受：

复平面上存在一个点A,以A为圆心任意做出的原盘 的外部都只包含序列的有限项。

会发现按照这种理解，实际上再抽象的过程中并不需要改动多少，思想基本是一致的，只是改动对“球”的理

把以上抽象的定义中抽象的概念重新套用具体的概念，可以完美还原上面所有图片的情形。所以这个抽象的定义是满足我们的直觉的，但同时，这个抽象的定义的意义并不仅仅在于归纳了以上的情形，它还能作用于更多新的情况。

也就是说在其他的一些具体的空间中(比如Banach空间),只要定义一个具体的球,我们就可以从抽象的极限定义当中导出具体的极限定义。

这也是一种很自然的构建数学理论的方式，从直观的具体例子中出发,提出要素转化为抽象概念，然后再把抽象概念运用到具体的情况中。

3.序列极限定义之：度量空间

现在有两个问题:

1. 之前的拓扑的定义符合几何直觉,又满足了抽象性固然不错，但是我们需要计算极限，所以怎么算极限？
2. 说了这么多,教科书上直接呈现出来的 语言的极限究竟是什么东西?

为了解决这两个问题,现在要来看一类具体的极限:定义在度量空间中的序列极限。

之前拓扑空间中极限的定义给了一个抽象的球,现在要给一个具体的球。并且是通过半径来定义的非常自然的定义出来的球。

通过半径来定义球？也就是：

空间中一个点到球心的距离小于一个实数r的集合,我们称之为一个(开)球。

既然提到了距离这个概念，那么什么叫做距离？用具体的例子来考虑。比如最常见的一维的距离，实数轴上两个点的距离：

例子6：用半径来定义实轴上的球。

以上式子表达的就是,以实数A为球心, 为半径的球（ 或者 代表的意思都是半径,所以没什么特别的）。我们这里关心的是,距离的定义。

在 当中两点之间的距离,这里是用绝对值定义的。

如果

例子7:复平面上定义的球。

这里距离被定义为,两个复数差的模长。

例子8:在 中用半径定义的球

这里的距离是用勾股定理中的欧氏距离定义的。

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既然有了具体的球,我们看看上面抽象的拓扑定义可以写成具体的什么形式，并且这样的形式还要体现球的半径 。

例子9： 上序列极限的度量定义

回顾一下抽象版本

被定义为 ,其中 就是以A为球心的球。

现在照着上面的抽象版本写出具体的极限定义：

任意以A为球心得球,意味着半径是任意的。所以应该被翻译为：

所以翻译为具体的写法就是：

把前面的任意球省掉,与后面的N项以后的所有序列都包含在球里面合并在一块儿写就是:

这就是一般的数学分析书里面关于极限的定义。

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例子10： 上序列极限的度量定义

同样的根据抽象定义写出具体的球即可得到：

例子11： 上序列极限的度量定义

如果 , ，并且定义 那么极限的定义可以写为

合并简写为:

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如果把例子11这一种极限的定义再做一点点抽象,也就是把空间中两点之间的距离写成映射：

并且满足一些特定的性质（ ）：

这样便是一个度量空间,而就被称之为定义在度量空间中的度量。直白的讲,d定义了我们怎么计算两个元素之间的距离。

所以给出具体的d也就给出了具体的度量空间，也就可以用这个具体的距离来定义一个具体的球。有了球就可以在这个度量空间上定义极限。

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4.序列极限定义之:度量空间中定义的极限有什么好处？

回顾前面的例子

会发现给出具体的度量之后的极限有一个好处

正如前面提到的那样,度量空间中的极限可以算。可以用来推出极限的运算律,以及求解具体的极限。

我们知道导出这些具体的度量空间中的极限的过程是完全符合我们的几何直觉的，并且这样的定义只需要给出一个 之间的一个对应关系就能保证,序列的极限一定是A。这样我们求极限的时候就有一定的套路和技巧可循，反正只要任意 能找到一个 满足上述的形式化的逻辑就可以了。

举例说明

例子12：证明下列序列存在极限并给出极限值

1.
2.
3.

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例子13:推导极限的运算律

令 是复数域上极限为 的序列, 是复数域上极限为 的序列。那么有:

1.
2.
3.

这里仅证明第一个加法运算律。

令 因此我们有

因为 那么对于任意的 必定存在一个 使得在此之后的所有项到极限的距离不超过 ,也就是:

同样的,对于 对于任意的，必定存在一个 使得在此之后的所有项到极限的距离不超过 ,也就是:

那么对于任意的 必定存在一个 使得对 有

于是这样就找到了一个关于 之间的对应关系,保证对于任意的 都存在一个$N$满足极限的度量定义,因此极限存在并且等于 。(满足形式逻辑)

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按照序列极限的定义,我们还可以非常轻松的证明Banach不动点原理（并且也非常好理解），这里因为篇幅过长就算了。

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  tommaxmim-18 网友的相关建议: 
      

个人觉得所有的数学都只是在追求极致的效率，换个说法就是追求极限，换个说法就是追求最短路径。包括数学被广泛用于其他学科，同样也是因为它的效率可观，经济性强。

所以套用哲学终极三问，数学也可以拟合成：这个空间是怎么描述的？这个空间是如何完备的？这个空间的极限在哪里？

带着这样的想法再去看数学或许更好，从而知道自己要做什么，这才是关键。知道要做什么了后，才晓得要走什么路。

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