数学的旨趣是什么？数学到底在干什么？ 第1页

我个人认为数学最核心的问题就是分类。——当然非数学背景的人可能不太理解我们所说的分类是什么意思。简单来说，就是满足给定性质的数学对象，我们直接用一个列表给全部列举出来。当然，大部分情况下我们关心的数学对象有无限多个，这时候我们希望把他分成一个一个小类，每个小类都给出足够具体、清晰的描述，使得我们可以在上面做具体的数学操作。——大概可以类比生物学的分类吧。

举一些例子的话。李理论的奠基性成果之一就是Cartan 对有限维单李代数的分类，由Dynkin diagram给出。——这基本也是代数以及（有点结构的）几何方向的学生必学的内容。代数几何的终极目标就是给出代数簇或者scheme的分类——当然这个类别过于庞大，究竟要分到多细致，要看这个学科具体能发展到什么程度。流形拓扑的终极目标就是分类所有流形。当然我们已经知道4维流形的基本群可以是任何finitely presented groups，而这类群的分类是算法不可解的。所以我们不可能指望有一个图灵机来帮助我们完成这个分类，只能追求更为“粗糙”的分类方式。又比如纽结理论的核心问题就是分类所有的纽结。为此拓扑学家发展了各种纽结不变量，来区分不同的纽结。可惜至今不存在完全的纽结不变量，也就是完全区分所有的纽结——这听起来遥远的像是下个世纪的数学。

我PhD期间做的正曲率几何，其核心问题自然是正截面曲率流形的分类。其实我想了想，大概是我一直对分类问题情有独钟所以才会选择这个方向吧。可惜低估了这个领域的难度，以及缺乏研究工具的状况。也有朋友问我，那么PDE先验估计或者调和分析或者很多组合问题，这些怎么看成分类问题？我个人觉得，一个数学领域发展得足够成熟以后，会有很多结构性的东西涌现出来，最终会展现出一个分类的图景。