不定积分∫dx/(2 + sinx)在x = π+2kπ处，为何会这样？这是不定积分的某种“特性”吗？ 第1页

简单来说，不定积分是局部的，但是定积分是整体的。

按照定义，不定积分是求导的逆运算，而我们知道求导是局部的，也就是只跟这一点附近有关，所以不定积分也一样是局部的，任何求不定积分的方法都只能在某个点的小邻域完成，包括后面带的积分常数也是局部定义的，换句话说，这个C从一开始就不是整个实数上的常数，而只是局部的常数。而定积分是整体的，求定积分必须要用上整个区间的信息。当然了，这个局部定义的常数能不能粘成一个整体的常数，这是另外的问题了。对于一维的区间而言，这一定能做到的，也就是 @予一人 给出的办法。

（拓扑上来说，区间上局部的不定积分能不能粘成整体的定积分，障碍是其常值函数层的Cech上同调，而这个时候上同调恰好是平凡的。）

不定积分是局部的这件事情也可以从你的计算过程中看出来。我不知道你是怎么研究这个积分的，如果是我的话，我可能第一步代换 ，然后后面就随便了。如果是不定积分的话，局部上这个t总是找得到的，并且关于x连续。但是如果你想做定积分，比如积x从0到100，你要换元t=t(x)，那你必须保证t也是从t(0)连续变化到t(100)，换句话说，x从0扫到100，t也必须从t(0)扫到t(100)，这样才能保证 。你自己去过一遍定积分换元公式的证明就能发现这是必须的。然而，前面这个简单的换元 做不到，在 就间断了，这就意味着你要算超过pi的定积分，这样直接换元就是错的，除非把区间拆开然后分别换元计算。

补充一点，局部的东西能不能粘成整体，这其实是非常非常非常非常难的问题。一维的时候想不明白无所谓，反正最后算出来再修正就是了。包括学常微分方程的时候也会碰到这个问题，反正算出来再修正一下就是了。多元微积分里也会碰到，比如无旋场局部一定有势，但是未必有整体的势，除非假设单连通。但是如果你想学更深的数学，那就一定要意识到什么是局部的，什么是整体的。

最后再补充一点。如果你希望 有个漂亮的初等函数的表达式，那这个初等函数势必能定义到复数上，因为所有初等函数在好的地方都是解析的。比如你把0处的幂级数展开写出来，直接逐项积分，就会得到一个新的非常漂亮的函数 ，这其实就是你通过不定积分解出来的。但是，幂级数和逐项积分只能在0附近的收敛半径内做。虽然 在实数上看是极好极好的函数，但是在复平面有极点。所以如果想把 解析延拓到整个复平面，那就会有分歧（ramification），不同的分歧会差一些留数，而不明真相的实数群众就只能管中窥豹，看到这里定积分的常数的区别了。（这一部分我没有仔细动手算，但是道理肯定这么个道理，如果有空的话可以自己算一下留数。）