想请问平坦模、投射模这些的几何意义是什么，感觉atiyah这本书的定义有些干巴巴的.......？ 第1页

说一个少有人提及，但是又非常常见的投射模（projective module）的例子。而且这个例子如此普遍，哪里都有它的身影，就是我们常说的（开）莫比乌斯带。

可是莫比乌斯带，作为一个拓扑对象，它跟投射模有啥关系？它上面都没有一个明显的模结构。但是我们知道，它除了是一个拓扑对象，也可以赋予向量丛的结构。它是“非平凡向量丛”的一个最简单的典型例子。与之相对照的，（开）圆柱面是一个平凡的向量丛，同构于圆周和一维线性空间的乘积 ，它有处处非零的截面（section），比如由 就是一个这样的截面。而莫比乌斯带是不平凡的：它的任何截面都必定有零点^[1]，否则设 是这样一个处处非零的截面，又设 是底空间（base space）圆周 上的切向量场，则 就定义了一个定向。然而我们知道莫比乌斯带不可定向。

那模结构在哪里？对于任何实流形 ，它上面的光滑函数全体 是一个交换环。流形 上任何一个实向量丛 ，它的光滑截面全体 构成一个 模：若 是一个光滑函数， 是一个光滑截面，则 逐点相乘也是一个光滑截面。这个作用显然满足模的运算规则。而向量丛之间的丛映射（bundle map^[2]）诱导对应的截面模之间的同态映射，使得 成为一个协变函子（functor）。当 紧致的时候，有个Serre–Swan^[3]定理说，这俩范畴实际上是等价的。这定理还说，不论 是否紧致， 都是一个有限生成投射模。所以投射模就像紧流形上的向量丛。

我们知道，投射模是自由模的直和部分。也就是说，任意一个投射模，都能找到另外一个投射模，使得它俩的直和是自由模。回到莫比乌斯带的例子，我们只需要再找一个一模一样的莫比乌斯带，让底空间（也就是腰部中线）重合，叠放在一起，然后把其中的一个底空间转一个角度，使得俩向量丛的相（phase）不同步，从而同一点上的向量都无关。这俩丛的直和，就是每个点上直和拼接起来。因为每个点上的向量无关，从而直和之后得到一个二维平面 。整体结果就得到一个平凡的丛 ，它的截面全体构成一个自由模。这个具体的构造方式，也证明了莫比乌斯带确实对应着一个投射模。

参考

1. ^ https://math.stackexchange.com/questions/2377515/showing-that-every-smooth-section-of-the-mobius-strip-vanishes-somewhere
2. ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Bundle_map
3. ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Serre%E2%80%93Swan_theorem