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如何入门 Yamabe 问题? 第1页

  

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原始的Yamabe问题是关于scalar curvature的,具体可以看之前答案里提到的Lee和Parker写的个那个The Yamabe Problem的综述性的文章。我一开始也是看的那篇文章,感觉写的还是蛮详细的,而且读起来也不是很困难,具体的话需要你有一定的PDE方面的知识和技巧,比如不等式放缩和估计什么的。


但是既然题主提到这篇文章里有Q-curvature,那就不只是原始的Yamabe问题这么简单的事情了。关于Q-curvature这个概念我也只是在刚开始的时候大概见过一两次,后来我跑去折腾Finsler几何里的东西了,就没再仔细看这方面的内容。所以只能简单说说看,不保证一定准确恰当,仅供参考。


Q-curvature是由Branson等人提出来的一个概念,它在二维的时候就是Gauss curvature,随着流形维度的增加形式会变得越来越复杂。它会保持某些与scalar curvature类似的性质,但是在共形意义下会有一些比较好的性质。比如Q-curvature在流形上的积分是一个共性不变量,而且对于共形平坦的2m维流形M,有下面这个式子。

而且Q-curvature在共形变换下的变化能够体现流形本身的某些几何和拓扑性质,它在共形变换下的方程本身也是一个完全非线性的偏微分方程,从分析的角度去研究那个方程也有它的价值。因此有人用Q-curvature去代替scalar curvature去做一些prescribing curvature problem.之类的问题。




  

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