最优控制(optimal control)与最优化(optimization)有什么区别？ 第1页

没有什么本质的区别。

有的人说：“不对，一个是静态优化，一个是动态优化。”因为很多人学的最优化都是讨论 中的非线性规划，然后 Optimal Control 一般又是另外开一门课，感觉好像不一样。

其实真没啥区别，从泛函分析的观点看就基本没啥区别。什么静态的动态的，无非就是一个在 中考虑问题，一个是在函数空间，比如 或者 , 中考虑问题罢了。

其实不论怎么样，优化问题的基本结构就是构造（抽象的） Lagrange Functional :

。（1）

所有具体的拉格朗日函数/泛函都是这个抽象形式的特例罢了。

只不过 的空间性质实在太好了，比如有界闭集就是紧的，同时对偶空间就是自身，对偶作用表现形式就是内积（一般的 Banach 空间可没有内积，但是可以用“线性泛函的作用”替代，也就是（1）式的尖括号），导致优化问题被大大简化了。

比如 的优化问题

Lagrange函数怎么构造的，那不就是对偶向量作用在约束函数上（有限维就表现为内积）么：

。配合上所谓的KT条件，求导，欧了。

这里的 就是 , 就是 。

这就是（1）式的特例！

一般的希尔伯特空间还好，由于有表示定理，我们知道其对偶空间就是自身，从而那个拉格朗日乘子其实就是空间本身的一个元素（一个向量），这与 中是一样的 。

一个简单的无限维优化问题：

约束条件是以泛函的形式给出的，泛函的好处就是值域是 （不考虑复泛函）， 的对偶空间还是 ，对偶作用那就是内积（数乘）。

所以在这里，（1）式其实就是 。同样再配上KT条件就行了。

这里的 就是 , 而 就是 。

然后求变分，欧了。

什么？无限维空间不会写KT条件？其实一样的，那就是互补松弛条件照写！

，若 则 。

你看，有啥区别嘛！

没有。

然后最优控制无非就是函数空间上一种特殊的最优化问题罢了，只不过约束条件是微分方程。

你依然从最抽象的 Lagrange形式（也就是（1）式）入手（但是这里需要考虑适当的函数空间）。就可以证明 Pontryagin's maximum principle。

当然，这个证明可不简单，不过切入点就是这样。

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有人质疑说“最优控制最重要和主流的方法 不是胖加押金那套 而是贝尔曼……”

我想说首先，任何一本正规的最优控制教材Pontryagin's maximum principle都是重点介绍的核心结论之一，不是你觉得不是就不是了。另外Bellman方程本身跟我回答中提到的抽象 Lagrange形式是两套方法，Bellman方程得益于最优控制问题本身具备递归结构，这根本不妨碍抽象Lagrange形式的适用性和概括性。

另外我通篇都没有谈及数值优化的内容，麻烦搞清楚。