有什么更高等的数学学好后能降维打击考研数一？ 第1页

在学有余力的情况下，可以学学复变函数，学了留数定理后可能对某些你不会的积分题妥妥的降维打击。

举个简单的例子：

通常解法：是令 ，则：

则：

但是，如果你没有想到令 这一步变换，而直接用有理函数积分什么的，时间是比较紧张的。

但是用留数定理后，这种类型的题目可以直接“降维打击”。

运用留数：这一积分显然是收敛的，设 ，则函数 在上半平面只有一个极点 。

显然：

作以 为圆心， 为半径的圆盘，考虑这一圆盘在上半平面的部分，设其边界为 ，如下图所示：

取 ，那么 包含在 的内区域内，沿着取 的积分，根据留数定理：

因为：

所以：

故：

又因为 是偶函数，故： 。

总的来说，运用留数会将许多技巧性的东西变得程序化，变得较为简单。

上面的题目只是举个例子，它代表确确实实有一些比较难以直接求解的定积分题目可以用留数求解，请大佬轻喷。

最后还是得再次强调一下，复变是得在你学有余力，且有兴趣的情况下才推荐学习，不然有这时间去多刷几套英语它不香吗？

同理，这句话也适合高三为了更好解决导数大题而直接自学高等数学的同学。

另外，如果评论区的这位大佬

觉得我举得例子过于简单，觉得用普通方法做起来还是轻松加愉快

可以尝试用普通的方法算一下： ， ，或者就是用狄利克雷核算 ！

然后再尝试用留数法算一遍，你就知道啥是降维打击了。

唔，如果普通的方法你还是轻松加愉快，三秒出思路，三分出结果，那就请把我上面说的话当放屁

（逃

分享一些考研题中比较好用的，但是书上不会提的，或者提了但没多说的一些东西，数学专业或非数学专业的都可以使用.

1.我记得很多考研题，喜欢出证明这样的不等式： ，就是一个函数平方的积分和他导数平方的积分之间的不等关系，要是没有想起来Parsaval恒等式，那就只能使用Cauchy不等式，用尽各种技巧估计，事实上这类不等式叫做Poincaré-Wirtinger不等式^[1]，并且可以找到一个最优系数.

Theorem (Poincaré-Wirtinger不等式)：若 ，并且 ，则:

并且这里的系数 是最优的.

可见，那些看似困难的考研题不过是这个定理的直接推论.

证明也很简单，注意到 ，所以可以把 以 为周期，光滑延拓到整个 上，因为 可微，所以其Fourier级数收敛到他自身，并且有Parsaval恒等式^[2]：

这里 为 的傅里叶系数，然后只需要注意到：

，以及

就可以直接代值，然后直接估计(把 放成 就好了)就可以得到结果了.

至于最优系数，只需要注意到 时，恰好可以取到等号就可以.

2. 有好多考研题，喜欢出证明 ，这个如果用傅里叶分析观点看，其实就是Riemann-Lebesgue引理的直接结果......

Theorem (Riemann-Lebesgue引理)：若 , 则 .

证明非常简单，分部积分就可以了，只需要注意到：

就Ok了.

3. 关于复分析的留数定理有答主已经说的非常全面了，但是可能给的例子比较简单，出现了好多钢筋评论，这里补充一个例子，我记得有一个考研题题是让我们计算积分：

取:

以及围道 即单位圆周，可见 在这个围道内只有一个一阶极点：

计算留数： ，从而由留数定理：

所以

4. 关于使用 大符号^[3]进行渐进估计(也叫估阶)， 这种办法非常暴力直接，比如当我们说 时，我们并不知道它是以怎样的程度趋近于无穷大的，而阶的估计就是研究它趋近于无穷大的程度的.

它还可以用于一些迭代序列的求解，虽然一个序列是由迭代决定的，但是我们可以估计出这个序列的渐进行为，就相当于某个极限状态下的表达式！

举一个例子，记得有道题是说 , 让我们计算 .

这道题的方法是直接用阶的估计的方法，把 的估计式给干出来，事实上，有这样的结论：

Theorem (NiNi): 如果 , 并且 递减趋于0，且 的展开式(Taylor)具有如下形式：
,
则有渐进展开式：

这时候，我们的题目条件完全符合这个定理的条件，这时候 ：

那么显然 .

后面还有好多方法，就不一一列举了，诸如用控制收敛定理判断积分极限是否可交换，用Banach压缩映射定理求函数列极限，例子放在这里了:耽几何de聆歌之伶的文章.etc.

更新: 举了这些例子，只是想说，去套路那些奇葩问题，真不如多读读书.

贴一篇曾经看过的，一位学长的好文吧:

参考

1. ^ 译作：庞加莱-维尔丁格不等式
2. ^ 译作：帕塞伐恒等式
3. ^ 也叫朗道-巴赫曼符号