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为什么1/49前面几项刚好是等比数列0204081632……,这是巧合吗 ? 第1页

  

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不是巧合,并且不只是前几项,实际上从第一项到无穷多项都符合该规律,12位以后看起来不像,其实是因为进位了:

        02 +  04 +    08 +      16 +        32 +          64 +           128 +             256 +               512   +                1024 +                  2048 +                    4096 +                      8192 +                       16384 +                         32768 +                           65536 +                            131072 +                              262144 +                                524288 +                                 1048576 +                                   2097152 +                                     4194304 +                                       8388608 +                                        16777216 +                                          33554432 =020408163265306122448979591836734693877551……     

下面我尝试不用求和公式∑和积分证明,这样只需要用到小学知识就能看懂了:

  • 假设有这么个循环小数组成了等比数列:

S = 0.02 + 0.0004 + 0.000008 + 0.00000016 + ……

  • 注意到每项刚好相差50倍,那我们将他乘以50:

50*S=50*0.02+50*0.0004+50*0.000008+50*0.00000016+……


=1+0.02+0.0004+0.000008+0.00000016+……

  • 不难发现乘以50后,除第一项外,剩下的项和原数列一模一样。


两项相减
B-A=50*S-S=1
所以:S=1/49


  • 类似的,可以用此通项公式(S×10ⁿ - C×S×10ᵐ = D)生成任何你想要的数列小数;

1/98=0.01 02 04 08 16 32 65……(从1开始)

1/499=0.002 004 008 016 032 064……(相隔3位)

1/997=0.001 003 009 027 081 243……(3倍等比)

890/891=0.9988 7766 5544 3322 1099……(邻位重复)

1/243=0.004 115 226 337 448 559……(隔位等比)

1/8181=0.0001 2223 4445 6667 8890 1112 3334 5556 7779……(邻位重复+隔位等比)

1/3321=0.00030 11141 22252 33363……

1/21951=0.00004 55560 11115 66671 22226……

  • 我们知道,兔子数列(1、1、2、3、5、8、13、21、34。。。)是一个伪等比数列,
    其前后两项比值的极限收敛于1.618...(黄金分割比例)。

其通项公式为


那么,这种非有理数比值的伪等比数列能不能构造出来呢?

其实也是可以的:

100/9899=0.01 01 02 03 05 08 13 21 34 55……

构造方法:

S=0.01+0.0001+0.000002+0.00000003 + ……

100S=1+0.01+0.0002+0.000003 + ……

10000S=100+1+0.02+0.0003+0.000005 + ……

10000S-100S-S=100+1-1+0.02-0.01-0.01+0.0003-0.0002-0.0001+0.000005-0.000003-0.000002 + …… (这样一来,每项都消除了)

=100

S=100/9899


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这波肯定是星巴克理亏,因为是一元的硬币。

硬币问题似乎是有个上限,说需要支付的金额超过币值乘多少,就可以要求顾客支付更大面额的货币。至于这个 币值乘多少的多少,究竟是 50 还是 100 还是更多,不记得了,这个问题以前可能讨论过,不知道有没有知友存在这方面知识。

星巴克的单人消费大致在50-100元以内,使用 1 元硬币支付的话,大概率不会达到允许拒收的额度,所以这波肯定星巴克理亏。


如果是支付 1 角 的硬币,购买100元的商品(需要一千枚),这个大概会是有相关法规存在的。而且真用一角硬币的情况下,舆论也不会支持顾客了。




  

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