如何看待京都大学的望月新一教授证明「ABC 猜想」，发表在其主编的期刊上？第1页

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1799年，在埃及尼罗河西河口的罗塞塔附近发现了一块石碑，现被称为“罗塞塔石碑“，高1.14米，宽0.73米，制作于公元前196年，其碑文是用象形文字、古埃及通俗文字和希腊文字三种不同的文字刻了同样的内容，这使得近代的考古学家得以有机会对照各语言版本的内容后，解读出已经失传千余年的埃及象形文之意义与结构，而成为今日研究古埃及历史的重要里程碑。

罗塞塔石碑

1940年，伟大的数学家安德烈·韦伊因拒绝参战而在法国被捕入狱。在狱中，韦伊给妹妹西蒙娜·韦伊 ——一位著名的哲学家和人文主义者——写了一封信，这封信非常重要。在信中，韦伊提出了现代数学的“罗塞塔石碑”：

我的研究目的是破译用三种语言写就的文本。在这三个领域中，我只有一些支离破碎的知识。我对这三种语言分别有一些理解，但是我也清楚这三个轨道彼此之间在内涵上存在巨大的分歧，我到目前为止还没有充分掌握这些分歧。经过几年的研究，我只积累了一些知识的碎片，这还不足以编纂出一本完整的翻译字典。

扯了这么多，现在回到题目上，我们知道ABC猜想很困难，它是位于“数域世界”的一座高峰，或许我们应该看看在另外平行世界——“函数域世界”——的”ABC猜想“。经验表明，“函数域世界”通常是更容易理解的，而且能启发我们对“数域世界”的理解。

（“函数域世界”的ABC猜想）设（后面均简写为）是复数域上的互素的多项式，不全为常数，满足，那么

其中符号表示多项式的次数，表示多项式在复数域上不同不可约因子的乘积。（由代数基本定理可知就是多项式所有不同根的个数）

这个被称为

Snyder 在 2000 年（当时是哈佛的一个本科生）给出了一个简单的初等证明如下：

对等号两边求导可知；于是这表明最大公因式均整除。
式子不为，反证法：如果，则，但和互素，故，这表明；由同理可证，所以，这与题设矛盾。
由和以及多项式互素可知
把中式子左端移到右端，再两边加上可知
我们需要一个事实：设是一个非零多项式，则，其中表示不同根的个数。证明如下：不妨设，由求导乘积法则，于是，同理可证；因此，由于非零，计算两边的次数得证。
对用事实可知

就好像在数域世界中ABC猜想可推出费马大定理那样，在函数域世界我们也可以做同样的事情：

（“函数域世界的费马大定理“）：设是复数域上的互素的多项式，不全为常数，是一个大于的正整数，如果它们满足，那么 .

证明：我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。

（你可以在Serge Lang 的《Algebra》 P195 找到两行的证明；顺便可以参见这一节Serge Lang对ABC猜想的介绍）

我们可以看到，在证明中起到关键作用的是可以对多项式取”形式导数“。但是数域上没有这玩意，怎么对一个整数”求导“？如果能在数域世界找到对应函数域世界的”形式求导“的东东，那么ABC猜想将是平凡的，就好像上面我们所作的那样。这启发了数学家对”算术导数“的研究，例如 Buium 的书：

数论学家有一个梦想，就是发展一套绝对几何学来处理数域的情形：

-几何蓝图

当然这仍然是猜想性的，如果可以做到的话，也许就可以构造”正确“的“算术导数“——函数世界求导的类似物——那么就能证明ABC猜想。例如如下论文就描述了一种如何用 -几何证明ABC猜想的策略：

Alexander Smirnov. Hurwitz inequalities for number fields. Algebra i Analiz,4(2):186{209, 1992.

据说望月新一的证明也用到上述 -几何的思想：cf. [Moc12, Remark III.3.12.4 (iii)] and [Moc15, Remark 5.10.2(iii)].

[Moc12] Shinichi Mochizuki. Inter-universal Teichmüller theory I–IV. Preprint, 2012.
[Moc15] Shinichi Mochizuki. Topics in absolute anabelian geometry III: global reconstruction algorithms. J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 22(4):939–1156, 2015

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我来科普一下著名的abc猜想。注意这个猜想标准的名称是abc猜想，不是ABC猜想。这里是指满足的三个数。

这里首先介绍一个函数叫 , 表示的所有质因数的积。例如：

有质因数，因此

只有质因数，因此

对于任意正整数，我们把它的质因数分解写成，其中是互不相同的质数，是正整数，那么这里可以看出

如果一个的所有素因子的次数都是1（即），那么例如等。但是如果一个是一个素因子的高次幂（即很大）, 相对小很多，比如等。

我们考虑两两互质的三个正整数满足。互质也就互素，就是两个数的最大公约数是1。两两互质就是说中任意两个数的最大公约数都是1，即这里代表greatest common divisor，最大公约数的意思。

对于大部分的都满足，比如 , 那么于是但是也有一些特殊的例子，比如 , 注意到于是

著名的猜想就是说满足比 大很多的三元组是有限多个的。这里“大很多”的意思就是需要比的数量级要大。用准确数学语言表达就是：

猜想：对于任意一个正数只有有限多个互质正整数三元组满足使得

它还有等价形式：

猜想的等价形式：对于任意一个正数存在常数使得对于所有互质正整数三元组满足都有

这里为什么要设置一个奇怪的，因为如果只找满足的三元组，我们是可以找到无数组的。比如对于任意正整数，考虑这里的所有素因子我们不清楚，但是我们知道它至少可以被整除，因为

于是我们把写成其中

进而

计算。我们比较和的质因数分解得到

因此

实际研究中常常使用quality值：。用quality值可以把 猜想写成：

对于任意一个正数只有有限多个互质正整数三元组满足使得

这里可以看到quality值的意义在于：越大，比高的数量级越多。下面的表格里面列出了最大的一些三元组：

目前已经发现quality值最大的例子：我们可以计算，只有的。

猜想研究一个乘积的质因数之积是不是比大，看起来这个猜想好像没有什么用。其实不然，猜想和其他很多数论中重要猜想有关，比如Erdos-Woods猜想、Mordell猜想、Marshall Hall猜想、Catalan猜想（方程只有一组大于1的正整数解：），甚至和著名的费马大定理有关（费马大定理已经被Andrew Wiles证明）。如果猜想获得证明，可以立即推出时的费马大定理，即不存在正整数使得。

望月新一在2012年发布了一个500多页的证明，用到了很多自创的理论（Inter-Universal Teichmuller Theory，中文叫做“宇宙际Teichmuller理论”)，至今大家都没有办法完全理解，也受到了顶级数学家的质疑。望月新一16岁就进入著名的普林斯顿大学读本科，博士师从1986年菲尔茨奖得主法尔廷斯Faltings。望月新一本人个性乖张，可能是因为智商方面的一览众山小吧，个人主页上称自己为“宇宙际几何学者”。

来看一下论文中的片段，感受一下智商上的碾压。

Hodge theater是什么? 霍奇剧场? 望月新一你去剧场做什么？看工藤新一吗？

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