如何用简单的方法证明「在周长一定时，圆的面积最大」？ 第1页

这是等周定理，定理表述如下：

在给定周长的所有闭曲线中圆是具有最大面积的曲线. 反过来，所有围成的区域面积一定的闭曲线中，以圆的周长为最小．

在19世纪，著名的几何学家Steiner(1796-1863)用朴素的几何方法对这一定理给出了证明（不完备）。Steiner的证明如下，分三步：

（1）如果某封闭曲线 是等周问题的解，那么 所围成的图形必须是凸的．

这是因为该图形如果不是凸集, 设想它如图1所画的那样，过 两点连成线段，然后把线段 同曲线 所围成的那一部分朝直线对折过去（变成虚线部分），组成一个新的图形，那么我们就得到一个周长没有变化，但是面积增大的图形．

（2）设封闭曲线 是等周问题的解，那么，如果曲线上的两点 连成的直线段 平分 的周长，那么 必平分曲线 所围成图形的面积．

反证即可，设 平分 的周长，但未平分 所围成图形的面积，那么被 分成的两部分图形中，必有一个面积较大，另一个面积较小．如图2所示，这时如果我们把面积较大的那部分沿着 对折过去，我们将得到一个面积更大的图形，但它的周长并未改变。

(3)如果曲线 是等周问题的解，在它的上面取任一条即平分曲线周长又平分其所围成图形的面积的弦 ，那么 上任何异于 和 的点对弦 的张角必须为一直角．

设在图3的左侧中 不是直角，那么只需把弓形部分 绕着点 转动使 转到 , ( 虽然不动，仍将 纪为 ), 使得 ，如右侧所示。

右侧面积：

左侧面积：

则

因此 ，然后把此图形沿 对折过去，最后形成的图形保持着原来的周长，但具有更大的面积．

显然，具备性质(1)-(3)的曲线一定是圆周，围成的图形是圆。

--2020.02.26

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回答两个问题

1. 为什么满足性质(3)的曲线轨迹是圆周？

给定线段 设线段长为 , 以 所在直线作 轴， 的中垂线作 轴.

不妨设 ,

因此，P的轨迹是以AB为直径的圆周(抠掉 两点)，从而曲线 是圆周。

2. 为什么Steiner的证明是不完备的？

其实Steiner只是证明了：除圆周之外的任何其他封闭曲线，都不可能是等周问题的解；换言之，如果等周问题的解存在，那么非圆莫属．解的存在性是Steiner解法的重要前提，如果解不存在，那么上面的证明便失去意义．

举个例子：比如我们要找正整数集 的最大值（假装我们对 很不了解）.

可证明：对任意 ，若 ，有 ，且 。因此，对任何非1的正整数 ，它不可能是 中的最大值。但我们不能因此得出1是 中的最大值，因为这个集合中，最大者根本不存在！

直到1870年，Weierstrass用变分法对等周定理作出了第一个严格证明．在1902年，Hurwitiz给出了一个用傅里叶级数所作的证明．

补个傅里叶级数的证明放这儿吧：

取周长为 的闭曲线 ，设曲线参数方程 , 为弧长参数,

则 .

展开成Fourier级数：

由 帕塞瓦尔等式：

故

由Green定理，围成的图形面积：

（帕塞瓦尔）

等号成立当且仅当：

, (保证第一个 取 ). (保证第二个 取 )

因此，当

时，面积 取得最大值 。此时

由 ， 。

因此，当 取得最大值 时，曲线 是 为圆心的单位圆。

可参考：

1.常庚哲，史济怀. 数学分析教程

2.E.Stein. Fourier Analysis

再补充两个有意思的推论：

推论1：边长给定的 边形中以存在外接圆者的面积为最大．

对任意给定边长的n边形 , 设多边形 是与它边长相等的多边形，且内接于圆 , 如图4左侧所示。把多边形想象成铰链架，将多边形 经刚体运动得到多边形 ，闭曲线 不是圆，但它的长度与左侧图中的圆周长相等．由等周定理，曲线 所围成图形的面积小于曲线 所围成的图形(圆形)的面积．又经过刚体运动，两个图中弓形部分（非阴影部分）形状不变，故其面积之和相等。从而

推论2：（第二等周定理）周长一定的所有 边形中，以正 边形的面积为最大.