平均多少个 [a, b] 间的随机数之和才大于 c？ 第1页

后来我意识到下面独立和的密度函数 表达式有更简单的推导方法。令 。则 是 的 重卷积。把括号打开，一共有 个卷积项。但是卷积是交换的，所以，最后只有 项，正好对应 的表达式。

下面是之前的回答。

本文在酱紫君的基础上做一点完善。目前只考虑 的情况。令 是第一次部分和超过 的时间。则，

。这和之前匿名用户的答案是一致的。之前还有提到用更新理论算Laplace逆变换的，应该也是可以的。形式上，有个不严谨方法是先把函数 写成 然后逐项求Laplace逆变换，和下面求Fourier逆变换的凑法是一样的。

对于 ，情况复杂，简单的来看如果 ， ，那么，

先考虑 时, 个独立的 上的均匀分布的随机变量 的独立和 的密度函数 。每个 上的均匀分布的特征函数为 。所以， 个均匀分布的独立和的密度函数为 。接下来，我们通过Fourier逆变换求 。注意到 是 的特征函数，其中 是 这一点的Dirac点测度。所以， 是 的 次卷积的特征函数。而 的 次卷积是 。接下来考虑 的Fourier逆变换。注意到 。如果我们把 想象成 ，那么我们发现 的Fourier变换就是 。然而，这应该在缓增广义函数 的意义下是成立的。然后，求 的 次卷积，得到 。最后，我们把 和 卷积在一起，就得到了 。

接下来，我们考虑一般的 ，令 ，则 是独立同分布的 上的均匀分布，他们的独立和 。所以， 的密度函数 满足 。所以， 。 的表达式有更简单更直接的推法， 的表达式有更简单更直接的推法

对于 ，

第一个等号的地方我们用到了 。那么， 。如果 ，这只是一个有限求和，所以可以任意换序，将其写成 。如果 ， 。上述求和绝对收敛，所以，我们先对 求和，得 。