其他人的回答已经足够解决这个问题了,但是我这里想给一个稍微不同的回答。我这里将问题做一个推广。这个问题我读本科的时候曾经在草稿本上写过,这里将它正式发布出来。希望可以对题主有所帮助。
我的问题:假设有两个光滑的一元实函数 对于任意的实数 都满足这样的条件
请问这样的函数应该具有什么样的形式?
这是一个函数方程组,显然是模仿着三角函数写出来的。我当时的想法是试图证明,满足这两个条件的光滑函数只有正弦和余弦函数。但是结果并非如此。结果如下。
令 ,得到
根据第一个条件,如果 ,则 ,此时 是一个虚数,不符合条件,所以只能得到 .
根据第二个条件,得到 . 也就是 .
令 ,得到
如果 ,则 ,这是一个平庸解,所以为了得到非平庸解,只能令 .
函数方程组两边同时对 求微分,然后令 ,得到(备注:实际上就是在计算李代数)
写成矩阵的形式为
求解得到
其中定义了系数矩阵
如果进而要求 ,则可以得到
但是如果不做这个要求,则可以得到更加普遍的结果,所以满足这个函数方程组的未必是三角函数。
这个更加普遍的结果是
本质上就是一个三角函数乘上一个指数函数。所以我一开始的猜测尽管不对,但是也差不太远。
再说一下计算 的技巧。定义 ,则可以将 记作
要计算这个矩阵的指数函数 ,最直接但也是最繁琐的方法就是计算它的特征值和特征向量,将矩阵 对角化,然后求矩阵的指数。为了减小计算量,可以充分利用矩阵的特性,将其写为这种形式:
其中 , .
又因为 ,所以
第一个矩阵指数很容易算出来为
第二个矩阵指数可以通过求 矩阵的特征分解得到,但是这样仍然很繁琐。简单的方法是计算 矩阵的幂。根据Cayley-Hamilton定理[1],很容易得到
因此,
所以
因此最终得到
之前买的一件衣服 恰好可以回答你的问题