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如何(优雅地)证明{sinN}的上下确界分别是1和-1? 第1页

  

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事实上,可以加强证明 在 上稠密,即对于 上任意一点,在它的任意近处都能找到 中的点,用分析的方法来说,就是 使得

为了证得这个结论,我们先不加证明地列出如下引理

对无理数 任意 都是序列 的聚点,其中 [1]

现在开始当前问题的证明。很清楚, 使得 如此,依 函数的连续性,将有

现在,利用前述引理,命其中的 [2]就将有

也即

于是依前述连续性,有

但是,注意到

利用三角恒等式 就推得

所以

这就完成了证明。

参考

  1. ^ 这个引理较为著名,证明请自行查阅有关文献。此外,请注意,本帖中的()系表示某数「小数部分」的特殊记号,在需要使用通常小括号的场合,改用{ }。
  2. ^ 容易验证,这是满足引理所需条件的,因这里取的α显系无理数,取的u∈[0,1].



  

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