解微分方程为什么会出现个 e？ 第1页

你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...

想象你生活在那个微积分初创的年代,你还不知道什么通解公式之类的玩意儿,自然常数 还未曾知晓...

你是一个站在时代前沿的数学家,你想知道微分方程: 的解.

你觉得可以有一个性质良好的函数作为解,比如在 上解析...

于是你可以在原点将这个函数展开:

因为 上解析嘛,所以 上光滑,求导得:

然后代入得:

要使得等式恒成立,所有项数都应该是

上面一个递推式直接迭代可以解得:

也就是说解可以写成: 的形式...

后来发现每次都要写这么一坨级数太烦了,经过研究发现定义 能减少很多麻烦.

然后进一步定义欧拉数

这个函数性质很好,可以把加法变乘法:

>>级数绝对收敛时算符可以交换

人们知道有这种性质的可以叫指数函数,于是,最后定义自然指数函数为 .

所以不是为什么出现了个 ,出现的是

至于 为什么会出现,楼上说的很明白了.

因此指数函数是求导算子的特征函数------算子作用于函数后的不变量, 求导仍是本身.

这个和线性代数里矩阵与特征值是相似的...

特征值是矩阵变换后的基,特征函数也是算子变换后的基...

至于基为什么这样...唉...捉鸡啊...这可以另开一个问题了...

再举一个例子,把傅里叶变换看成一个算子,其特征函数(之一)为

所以傅里叶变换里这个东西经常出现...

没有也正常,因为傅里叶变换的特征函数可以长得很不一样,比如 这俩也是.