怎么理解 Mayer-Vietoris 序列？ 第1页

我是搬运工^[1]。

首先明白一个概念——

结构元

简单说，共轭元就是 维无边子流形 ，它不可缩，不是高维空间的边界。并且它可以分解为可数个 维闭圆盘的并，这些圆盘的交集等于它们边界的交集。

比如轮胎面的纬圆，可以被首尾相接的一维闭圆盘——闭线段分解。它就是一个 维结构元。我们更关注与它同调的等价类 .

共轭元

如果 存在逐点与之横截相交（不是相切那种相交）的结构元同调类 ，则 称为 维共轭元.

就比如轮胎面的纬圆和经圆，就是互为对偶共轭元.

同调类几何化

而共轭元分为自由与非自由，有以下关键定理——

定理 是正则流形，同调群

是自由子群， 为挠子群，它们的生成元基分别是自由共轭元与非自由共轭元.

关于自由非自由共轭元的定义为了叙述方便我就省去了。

然后回到我们的目标——

序列

，则有正合列

其中

几何解释： 维共轭元 只有如下情况：

• 或 ；

表示 与 在边界粘接. 与是对应以上情况分别有：

• ；
• .

于是由 的定义，显然有 ；

于是 ， 也容易验证.

参考

1. ^ 马天《流形拓扑学——理论与概念的实质》