有哪些自己发现并证明的并自以为得意的初等数学定理？ 第1页

本草履虫高中想到计算 的方法。

k是1，2时 初中就已经学过公式， 和

但一直找不到k大于2之后的公式。

高二学排列组合，无意中研究讲过的公式

考虑r=3的时候

右边第一个和就是我们想要的，剩下的两个和都是已经知道的，完成。

后来又想想，可以直接强算啊

把n从1到n的上述式子都加起来

右边第一项就是想要算的，后两项都已知，问题在于左边的式子

左边挺有规律，我就列出来个表看看

把表补完整再在左边多补一列，全部加起来就是 ，已知了。

考虑表补上去的部分

把每一行分别加起来不就是 么

再把每列加起来，不就是 了

这样得到

后来读到了阿贝尔变换和分部积分。。。

高三学了点导数，加上排列组合看到的生成函数，又想到一个办法

考虑

带入x=0就是各阶求和了

接着把f(x)换个形式

虽然是等比数列求和 但x=0时f(1)全是1了，就没办法了

然后想想可以求极限，避开x=0而算 ,这样就能用等比数列求和公式了啊

任意阶的情况

那个导数很好算，和上面两个办法比，不需要知道低阶的等式，直接就能求解。

k是负数的情况，可以把调和级数化成积分的形式，当时发到贴吧，正好是三江方士证明调和级数收敛，让人类几百年数学大厦轰然倒塌的时候，加上表述不清楚，也就沉了。有位贴吧大佬给我他之前科普调和级数的帖子，原来是个没啥用处的等式。

再说另外一个想复杂的证明，排列组合的范德蒙德恒等式。当时是看到一个组合数学题，想复杂了的结果。

从一个nxn的网格左下角沿着网格线走到右上角不能绕路，有多少种走法

直接 就好，总共要走2n个边线，从中选n个横着走。

我的想法是数经过的线，比如在一条水平直线上总共走了r个边，那么另外一条竖直直线上就要走n-r个边

然后r可以是1到n，整理整理就是范德蒙德了

具体好麻烦，不写了

当时发到贴吧，有人就是给我回了范德蒙德的证明，一比，我搞的好复杂。

初中开始有写数学笔记的习惯，的确发现了一些公式定理，虽然挺得意，但是看着那些形式优美的结论，那种难以言说的巧合感、来自前世的熟悉感直击心头，“这一定不是我最先想到的。”，但是每次的“新发现”总会让我兴奋上好几天。

• ，等式右边刚好是等差数列求和结果的平方！
• 古尔丁-帕普斯定理： ，我见回答中有位题主也发现了该定理，并且都是思考圆锥体积公式而归纳出的结论。事实上，我还给出了“证明”，但其实只是对线性函数的定积分作出了说明（当时不懂积分，但实际上干了这么一回事）；
• 对阶乘进行质因数分解： ,这个公式算是我当时发现最鬼畜的公式了；
• ，勒让德公式，这个其实也挺鬼畜的。当时正在军训站正步，我突然想到用逐步淘汰法可以得到这个结果；
• ，我定义了一个平均约数函数（一个正整数所有正约数的平均值），这个函数可以把所有质数排在一条斜率为 的直线上，而合数只能呆在这条直线的下方。顺便我还研究了“几何平均约数”： ；实际上它不是别人，恰恰是算术平方根 ；
• ，高中为了求一个椭圆积分，开发了积分换元法，但后来才知道椭圆积分不存在初等原函数…

……

还有很多结论，我都记在了笔记本上了，一时也想不起来了。现在虽然不写纸质笔记了，不过我还是会把一些想法写在知乎专栏里。

三川啦啦啦：来自无穷维的雨点——正态分布的几何模型

三川啦啦啦：维度

下面这个链接里有我中学数学笔记的照片，算是一点证据吧，要不然大家会以为我吹牛不上税。

这种闭门造车做“数学家”的感觉容易让人上瘾。以前网络没现在这么发达，也不是在发达城市接受义务教育，自娱自乐也情有可原。但是如果继续这样下去，不去学习新的知识，而继续沉浸在自己营造的幻觉中——伯乐不常有而孤芳自赏，那么就会应验孔老夫子的那句“思而不学则殆”！这是学习数学人人都要过的一关，以此与大家共勉。

一元三次、四次方程通解。现在想起这件事都觉得有点小得意。

那时候上高中，突然很好奇一元三次方程怎么解，没想到花了一周时间真的完全独立地解出来了。我把这件事告诉数学老师，他说：“历史上能独立推出来一元三次方程的，能有几人。”现在想想是夸大的鼓励，但当时真的觉得好激动。

为此特意买了一个本子记录了解题的心路历程，以后每当解决了新问题都会记录下来。隔了两三天把一元四次方程解出来了，思路和前者差不多。

说一下当时的求解思路吧。求解的过程对于专业人士看来可能并不严谨，但是这个过程只用到初等数学。。

对于方程：

我先参考一元二次方程的配方法，尝试用变换方程形式的方法试图直接得到解，但各种形式变换均以失败告终。推测这个方法不可行，没有类似于配方法、因式分解法的简单过程。

然后，试图推测解的形式。通过配方法把方程化简为下述形式(因为这样化简可以极大地提升效率)：

这里，我假设a和b均为有理数。(即使a或b不是有理数也不会影响通解公式形式，而做这个假设会使分析变得简单)

现在试图猜测解的形式，例如：

为便于分析，始终假定t是有理数（实际上，只需假定不对t再拆即可）。那么，代入简化后的三次方程，得到：

想让等式左边为有理数，a必须为零才行。所以猜测的形式失败。

再猜测一个形式，比如：

代入化简后的方程，有：

想让等式左边为有理数，t+a需要等于0，此时b必须等于零才行。所以猜测的形式失败。

现在猜测解是多个根式的和。（当然了，也可以猜测是多个根式的嵌套，但先从简单的开始试嘛）。首先肯定不能是四次五次根式之类的形式，所以推测：

然后把它代到三次方程里，得到一个非常鬼畜的结果：

然后，我们希望等式左边是有理数，如果令n=0就可以一下子去掉四个根式，变成：

想让剩下两个立方根式也消去，只需要令：

这样就一次性消掉了两项

把m的表达式代入x的表达式，得到：

很好，这样就知道x应该是个什么样的形式了。我们再把这个表达式代入方程，得到：

这个方程能解出t，再代入上面的式子就求出x了。

20190407更新：

评论里有提到其余几个根怎么求的，我就把剩余的步骤写出来。

根据前面的构造法，可以得出第一个根（虽然t解出了两个解，但是把它们代入求x的公式以后，通常只能求出一个x）：

对于方程

类似于二次方程的韦达定理，三次方程的三个根满足如下的关系（该公式的推导方法与二次方程推导韦达定理的方法相同）：

根据“韦达定理”第一项，设

这个构造是我刚才动笔算的方法，至于高中时候的我是怎么构造的我已经不记得了（我的笔记本里在求完x1以后直接就写出了x2和x3的计算结果了……），但可能也是类似的方法吧，因为构造出对称形式很便于化简。

代入“韦达定理”的第二项，得到：

现在，只需求出s，即可求出另外两个根了。

代入x2和x3的等式，即可求出x2和x3：

判别式 （为防止误导读者，我特意查了一下百度百科，标准解法的判别式与我定义的判别式相差系数4，但是实际上效果是一样的，因为它只判别正负。）

当 时，方程有一实根、两虚根；当 时，方程有三个不等实根。

当时做了一个比较大胆的假设：对于有三个不等实根的三次方程，除非其形式足够简单（比如三次根式里面套的那个二次根式可以拆掉或所有根式都可拆掉等等），否则三次根式内的虚数符号i是无法消掉的。之所以作出这个猜测，是因为我试图把三次根式内的i消掉时，永远都会得到一个与之难度相同的新的三次方程（所谓难度相同，即新的三次方程也消不掉根号内部的i）。

刚才我查了一下百度，好像标准的求根公式里也是保留着三次根式内部的虚数符号i，也就是说我的猜测可能是对的（如果数学专业的同学看到这里不对的话，麻烦提醒一下谢谢）。

举个例子：

对于

得到

cos40度明显是个实数，但是表示它不得不借助虚根。

评论里有提到四次方程，就顺手把四次方程的思路粘贴一下，答主手懒就不写了：

ok，就酱。

更新说明：找到了比较优秀的解答，但是还是很长的证明呢~

特别感谢 @心月狐 @霜落晨星 提供的有关证明的帮助

如果我的定理有相对简单的证明请务必联系我！该定理马上将会收入cyb酱的作品：

《violence of problem solving》

（中文名《数学地书中的证明》）

———原回答———

我最喜欢的圆锥曲线结论之一

有兴趣的不妨试着证明一下

先发一张图

cyb酱有一个小本本

封面大概张这样

里面有这个性质的证明，我认为这是我证过的最困难的圆锥曲线性质了。下面是本子上最初的证明版本，以后我会补一个完整版。

证明的思路如下

Page1：先猜测定椭圆的性质，发现它与原来的椭圆切于左顶点，且曲率半径与原来的椭圆相同。还发现动椭圆的一条准线与一定圆相切。

Page2：利用这条准线，在极坐标方程中假设l与之交点的坐标，列出二次方程。解出来之后换回平面直角坐标系。

Page3：将式子简化至两个变量，求判别式并与原先求出的方程对比，发现完全符合。

整个思路+计算过程花费了三天。我认为问题的难点在于：1、椭圆长短轴不与坐标轴平行。2、要证明的结论是直线与椭圆相切，一定程度上增加了计算复杂度。3、如果不使用猜测结论+证明的方法将会碰到解四次方程的难题。4、题目运用了动静结合的手法

附图：