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蝴蝶定理有多少种证法? 第1页

  

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用射影几何中的交比性质,可以说是秒证。

蝴蝶定理

过圆内弦中点引出任意两直线被圆所截得到四个点,同侧相连,与弦相交得到两个点关于弦中点对称。

引理(交比不变性)

从同一点发射出四条直线,与另外两条直线相交,产生两组点列,它们的对应点构成的交比相等。

(复分析莫比乌斯变换中有复比的概念,是交比的推广)

交比的定义是:

引理也就是说:

证明

通过这个转化,我们发现交比只与这四条定直线的夹角有关,与动直线与四条定直线相交方式无关!

Q. E. D


我们称 点为射影中心,从映射的观点看, 被映射为 ,记该映射为 ,于是定理可以表述为:

有了这个引理的铺垫,下证蝴蝶定理:

证明

如图做辅助线。由圆周角定理可知: 和 是两个等价的射影中心,因为它们的对应角都是同弧所对的圆周角,于是它们的交比相等,即

将等式两边展开化简,立即得到:

Q. E. D


另外,蝴蝶定理很容易推广到圆锥曲线上,

利用圆的仿射性质(压缩):共线的线段之比(单比)经过仿射后不改变。利用射影性质等可以推广到其余二次曲线上。




  

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