素数的 Willans 公式是否正确？ 第1页

这些个奇形怪状的素数公式, 无非就是一个命题/定理中找出一个断言, 然后用谓词重写这个断言, 然后用数学符号重写这些谓词.

Willson 定理

是素数, 当且仅当 , 时同样满足此关系.

注: Willson 定理是 1 被踢出素数的受害者, 当时提出的时候可是不用对1特殊处理的...

所以对于素数和1, 我们可以下断言:

换个表述也就是说:

如果 , 那么 就除的尽, 反之合数就除不尽.

我们给他配个有界函数, 比如 , 然后调整下周期, 让它只有在断言成立的时候能取到最大值1

不成立的时候下取整变成0就行, 与是我们得到了一个万能的判定素性的布尔函数:

然后对所有小于 的自然数判断一遍加起来就能得到计数函数:

计数记得去掉1个, 1 现在规定它不是素数.

这个函数解析数论里常记作 .

给定自然数 , 满足 的数的数量就是 .

啊, 讨厌的 1...同理我们构造真值函数和计数函数, 最后得到素数公式:

然后问题转化为怎么消掉这些个谓词.

然后这个无穷大也得消了, 不然就不叫公式(封闭解)了...

接下来要用到一些素数密度的估计.

对于任意自然数 和 之间至少有一个素数.

也就是说小于等于 的素数至少有 个.

于是我们可以把这个无穷大消掉了, 换成 , 后面的求和都是 0 了不用管.

另一方面, Willans 发现了一个非常巧妙的真值函数:

由此才得到了完全由初等函数和有限和的 Willans 素数公式

综上所示:

比 更好的界也是有的, 我们不去管他, 接下来把 也替换掉, 最终得到:

Quite Easily Done!