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随机取牌算不出 24 点的概率是多少? 第1页

  

user avatar   mario-super-34 网友的相关建议: 
      

这道题很有意思,可以理解为,从一副牌里随机抽取4张数字牌,用基础运算,也就是只用加减乘除以及括号算不出来的概率有多大,不允许采用乘方,阶乘等操作。

(网传的笑话就是,如果允许阶乘和求导的话,四张牌任何一个数对未知数求导为0,然后0的阶乘为1,四个1相加再阶乘为24,因此全部都有解)

首先,我们分两种情况来考虑,一种是去掉大小王和JQK,另一种是只去大小王,JQK当成11,12,13。前者一共有C(40,4) = 91390种情况,后者一共有C(52,4)=270725种情况。

我们可以用程序来模拟。我们把四张牌所有的数字组合都列出来。

然后对于任何一种组合,比如1,2,3,4,我们用permutation列出24种顺序,然后对于中间三个空当,把+-*/四个符号填进去,这样又有64种情况,最后,我们用递归调用法,把所有的运算顺序都给列出来,起到加括号的作用。这样就可以达到目的。

这里要注意的是,因为牌的数量有限, 每一种数字组合出现的概率是不一样的,比如四个4,只有一种可能,那就是草花4,红桃4,黑桃4,方块4。但是对于1234,情况则高达256种,因为四个数字每种都有4个花色。因此后者的概率是前者的256倍。我的做法是,每种都要赋予不同的权重。

这是我的程序代码

       _author_ = "super mario" from itertools import permutations def getvalue(left,right,num,s):     if left==right: return [num[left]]     output = []              for i in range(left,right):         for leftnum in getvalue(left,i,num,s):             for rightnum in getvalue(i+1,right,num,s):                 if s[i]=='+': output.append(leftnum+rightnum)                 if s[i]=='-': output.append(leftnum-rightnum)                 if s[i]=='*': output.append(leftnum*rightnum)                 if s[i]=='/':                      if rightnum==0: continue                     if leftnum%rightnum < 10**(-6):                         output.append(leftnum*1.0/rightnum)                     else: output.append(leftnum*1.0/rightnum+0.000001)            return output  symbol = ["+","-","*","/"] def solve(nums):     flag = 0     for num in permutations(nums):         for index in range(64):            i1,i2,i3 = index/16,index%16/4,index%4            s = [symbol[i1],symbol[i2],symbol[i3]]            result = getvalue(0,3,list(num),s)            for r in result:                if abs(r-24)<10**(-12):                    string = str(num[0])+s[0]+str(num[1])+s[1]+str(num[2])+s[2]+str(num[3])                    flag = 2                elif 10**(-12) < abs(r-24) < 10**(-3):                    string = str(num[0])+s[0]+str(num[1])+s[1]+str(num[2])+s[2]+str(num[3])                     if flag!=2:  flag = 1     return flag             total,solved,totalw,solvedw = 0,0,0,0 for num1 in range(14):     for num2 in range(1,num1+1):         for num3 in range(1,num2+1):             for num4 in range(1,num3+1):                 if num1==num2==num3==num4:  weight = 1                 elif num1==num2==num3 or num2==num3==num4: weight = 16                 elif num1==num2 and num3==num4: weight = 36                 elif num1==num2 or num2==num3 or num3==num4: weight = 96                 else: weight = 256                 total += 1                 totalw += weight                 nums = [num1,num2,num3,num4]                 result = solve(nums)                 if result==0:                     print nums[0],nums[1],nums[2],nums[3]                      solved += 1                     solvedw += weight                  print total print solved print "----" print totalw print solvedw      

最后的的运行结果,如果是1-10数字,一共有79936种情况有解,算不出的概率是12.53%,平均每抽八个组合,有一个算不出来。如果是1-13的数组,则一共有217817种是有解的,算不出的概率是19.54%,平均每抽五次,就有一次算不出来。

如果只考虑组合,不考虑权重,1-10一共有715种组合,算不出来的共149种,比率为20.84%。而1-13有1820种组合,算不出来的有458种,比率为25.16%。我们发现这个比率大于概率,因为不同的数字越多,出现的概率越高,所以可以认为不同数字的牌相对更容易形成24点。这点也是能理解的,因为不同数字可以形成的结果也越多,就好比一把枪有了更多的子弹,可以射向更多的位置,更容易击中24这个目标。

总之,大部分情况下,我们还是能算出来的。

另外,我还额外研究来一种情况,那就是必须要通过分数的操作运算才能算出的组合,这种被成为高难度组合。比如5551,必须用5x(5-1/5),化整为分,最后化分为整才能算出。我的程序的做法是,对每个不能被整除的除法,给出 的偏移,然后输出的时候,如果某牌组,没有运算输出24,但是有组合输出离24的牌相差 到 的情况,则视为必须通过分数运算才能得到的高难度组合,输出结果后再进行进一步验算确认。

最后发现,这样高难度的牌一共有15种。其中10种在1-10以内。

其中最难的我个人认为是8 8 3 3,因为看似很简单,三八24,但是你需要用到的操作是,先用3减去8/3得到1/3,然后用另一个8去除这个数。

最后,我把24点1-10以内的算不出的组合全部列在下面供大家参考。


user avatar   GalAster 网友的相关建议: 
      

这是一道元编程题啊, 远离 for 循环波动拳...

                fs                   =                   Evaluate         [         DeleteDuplicatesBy         [         Groupings         [         Permutations         [{         #1         ,                   #2         ,                   #3         ,                   #4         },                   {         4         }],                   {         Plus                   ->                   {         2         ,                   Orderless         },                   Subtract                   ->                   2         ,                   Times                   ->                   {         2         ,                   Orderless         },                   Divide                   ->                   2         },                   Inactive         ],                   Factor         @*         Activate         ]]         &         ;                            sollutions                   =                   Select         [         Tally         [         all                   =                   Subsets         [         Flatten         @         Table         [         ConstantArray         [         i         ,                   4         ],                   {         i         ,                   13         }],                   {         4         }]],                   AnyTrue         [         Quiet         [         Activate         [         fs                   @@                   First         @         #         ]],                   #                   ===                   24         &         ]         &         ];                                      TemplateApply         [         "排列的合法组合: ``"         ,                   {         Length         @         fs         [[         1         ]]}]                            TemplateApply         [         "所有排列的数量: ``"         ,                   {         Length         @         all         }]                            TemplateApply         [         "有解的排列数量: ``"         ,                   {         Tr         @         sollutions         [[         All         ,                   -1         ]]}]            

没错, 就这么点代码, 元编程就是这么强大

所以答案就是


这段代码什么原理呢

算二十四点可以看成是四个数字外加三个运算符组合

确切的说是任意两个数字和一个符号加括号, 从数学上讲就是求卡特兰数

                treeR         [         1         ]                   =                   n         ;                            treeR         [         n_         ]                   :=                   treeR         [         n         ]                   =                   Table         [         o         [         treeR         [         a         ],                   treeR         [         n                   -                   a         ]],                   {         a         ,                   1         ,                   n                   -                   1         }]                            treeC         [         n_         ]                   :=                   Flatten         [         treeR         [         n         ]                   //.                   {         o         [         a_List         ,                   b_         ]                   :>                   (         o         [         #         ,                   b         ]         &                   /@                   a         ),                   o         [         a_         ,                   b_List         ]                   :>                   (         o         [         a         ,                   #         ]         &                   /@                   b         )}]                            TreeForm         [         #         ,                   AspectRatio                   ->                   0.618         ]         &                   /@                   treeC         [         4         ]            

如图所示4个数字 n 外加 3 个符号 o 一共是 5 种二叉生成树

牌的总数是13*4任选4张, 然后全排列, 符号的总数是四选n-1个槽轮换

所以总的复杂度是

因此对每一对数字需要计算7680个模式, 一共是 1820 种组合, 总的计算量是 1397 7600 次

这有点多不过 Mathematica 你可是数学软件, 你难道不知道加法交换律和乘法交换律吗

代码的第一行就是通过元编程生成了这 7680 个函数, 然后因为加法和乘法具有交换律, 所以 Mathematica 可以约化这两个算符子树交换的情形, 于是本质上只剩下了 1170 个函数

接着对每个排列轮流应用这 1170 个函数, 如果有为24的解就输出, 否则删除

最后取补集, 一共得到 458 个无法通过四则运算计算出 24 点的情况:

                1         ->         {         1         ,         1         ,         1         ,         1         }                            2         ->         {         1         ,         1         ,         1         ,         2         }                            3         ->         {         1         ,         1         ,         1         ,         3         }                            4         ->         {         1         ,         1         ,         1         ,         4         }                            5         ->         {         1         ,         1         ,         1         ,         5         }                            6         ->         {         1         ,         1         ,         1         ,         6         }                            7         ->         {         1         ,         1         ,         1         ,         7         }                            8         ->         {         1         ,         1         ,         1         ,         9         }                            9         ->         {         1         ,         1         ,         1         ,         10         }                            10         ->         {         1         ,         1         ,         2         ,         2         }                            11         ->         {         1         ,         1         ,         2         ,         3         }                            12         ->         {         1         ,         1         ,         2         ,         4         }                            13         ->         {         1         ,         1         ,         2         ,         5         }                            14         ->         {         1         ,         1         ,         3         ,         3         }                            15         ->         {         1         ,         1         ,         4         ,         11         }                            16         ->         {         1         ,         1         ,         4         ,         13         }                            17         ->         {         1         ,         1         ,         5         ,         9         }                            18         ->         {         1         ,         1         ,         5         ,         10         }                            19         ->         {         1         ,         1         ,         5         ,         11         }                            20         ->         {         1         ,         1         ,         5         ,         12         }                            21         ->         {         1         ,         1         ,         5         ,         13         }                            22         ->         {         1         ,         1         ,         6         ,         7         }                            23         ->         {         1         ,         1         ,         6         ,         10         }                            24         ->         {         1         ,         1         ,         6         ,         11         }                            25         ->         {         1         ,         1         ,         6         ,         13         }                            26         ->         {         1         ,         1         ,         7         ,         7         }                            27         ->         {         1         ,         1         ,         7         ,         8         }                            28         ->         {         1         ,         1         ,         7         ,         9         }                            29         ->         {         1         ,         1         ,         7         ,         11         }                            30         ->         {         1         ,         1         ,         7         ,         12         }                            31         ->         {         1         ,         1  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39         ->         {         1         ,         1         ,         9         ,         11         }                            40         ->         {         1         ,         1         ,         9         ,         12         }                            41         ->         {         1         ,         1         ,         10         ,         10         }                            42         ->         {         1         ,         1         ,         10         ,         11         }                            43         ->         {         1         ,         2         ,         2         ,         2         }                            44         ->         {         1         ,         2         ,         2         ,         3         }                            45         ->         {         1         ,         2         ,         5         ,         11         }                            46         ->         {         1         ,         2         ,         7    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{         1         ,         3         ,         7         ,         11         }                            55         ->         {         1         ,         3         ,         10         ,         13         }                            56         ->         {         1         ,         3         ,         11         ,         13         }                            57         ->         {         1         ,         4         ,         4         ,         13         }                            58         ->         {         1         ,         4         ,         7         ,         10         }                            59         ->         {         1         ,         4         ,         8         ,         10         }                            60         ->         {         1         ,         4         ,         9         ,         9         }                            61         ->         {         1         ,         4         ,         10         ,         13   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   ,         5         ,         7         ,         7         }                            70         ->         {         1         ,         5         ,         11         ,         13         }                            71         ->         {         1         ,         5         ,         12         ,         13         }                            72         ->         {         1         ,         5         ,         13         ,         13         }                            73         ->         {         1         ,         6         ,         6         ,         7         }                            74         ->         {         1         ,         6         ,         7         ,         7         }                            75         ->         {         1         ,         6         ,         7         ,         8         }                            76         ->         {         1         ,         6         ,         7         ,         13         }                            77         ->         {         1         ,         6         ,         9         ,         11         }                            78         ->         {         1         ,         6         ,         10         ,         10         }                            79         ->         {         1         ,         6         ,         10         ,         11         }                            80         ->         {         1         ,         6         ,         11         ,         11         }                            81         ->         {         1         ,         6         ,         13         ,         13         }                            82         ->         {         1         ,         7         ,         7         ,         7         }                            83         ->         {         1         ,         7         ,         7         ,         8         }                            84         ->         {         1         ,         7         ,         7         ,         13         }                            85         ->         {         1         ,         7         ,         8         ,         13         }                            86         ->         {         1         ,         7         ,         10         ,         10         }                            87         ->         {         1         ,         7         ,         10         ,         11         }                            88         ->         {         1         ,         7         ,         11         ,         11         }                            89         ->         {         1         ,         7         ,         11         ,         12         }                            90         ->         {         1         ,         7         ,         11         ,         13         }                            91         ->         {         1         ,         8         ,         8         ,         13         }                            92         ->         {         1         ,         8         ,         9         ,         9         }                            93         ->         {         1         ,         8         ,         9         ,         10         }                            94         ->         {         1         ,         8         ,         10         ,         10         }                            95         ->         {         1         ,         8         ,         11         ,         11         }                            96         ->         {         1         ,         8         ,         12         ,         13         }                            97         ->         {         1         ,         8         ,         13         ,         13         }                            98         ->         {         1         ,         9         ,         9         ,         9         }                            99         ->         {         1         ,         9         ,         9         ,         10         }                            100         ->         {         1         ,         9         ,         9         ,         11         }                            101         ->         {         1         ,         9         ,         9         ,         13         }                            102         ->         {         1         ,         9         ,         10         ,         10         }                            103         ->         {         1         ,         9         ,         10         ,         11         }                            104         ->         {         1         ,         9         ,         12         ,         13         }                            105         ->         {         1         ,         9         ,         13         ,         13         }                            106         ->         {         1         ,         10         ,         10         ,         10         }                            107         ->         {         1         ,         10         ,         10         ,         11         }                            108         ->         {         1         ,         10         ,         10         ,         13         }                            109         ->         {         1         ,         10         ,         11         ,         11         }                            110         ->         {         1         ,         10         ,         11         ,         13         }                            111         ->         {         1         ,         10         ,         13         ,         13         }                            112         ->         {         1         ,         11         ,         11         ,         11         }                            113         ->         {         1         ,         13         ,         13         ,         13         }                            114         ->         {         2         ,         2         ,         2         ,         2         }                            115         ->         {         2         ,         2         ,         2         ,         6         }                            116         ->         {         2         ,         2         ,         5         ,         13         }                            117         ->         {         2         ,         2         ,         7         ,         9         }                            118         ->         {         2         ,         2         ,         7         ,         11         }                            119         ->         {         2         ,         2         ,         8         ,         11         }                            120         ->         {         2         ,         2         ,         8         ,         13         }                            121         ->         {         2         ,         2         ,         9         ,         9         }                            122         ->         {         2         ,         2         ,         9         ,         13         }                            123         ->         {         2         ,         2         ,         10         ,         12         }                            124         ->         {         2         ,         3         ,         3         ,         4         }                            125         ->         {         2         ,         3         ,         9         ,         11         }                            126         ->         {         2         ,         3         ,         10         ,         11         }                            127         ->         {         2         ,         4         ,         7         ,         13         }                            128         ->         {         2         ,         4         ,         9         ,         11         }                            129         ->         {         2         ,         4         ,         11         ,         13         }                            130         ->         {         2         ,         4         ,         12         ,         13         }                            131         ->         {         2         ,         5         ,         5         ,         5         }                            132         ->         {         2         ,         5         ,         5         ,         6         }                            133         ->         {         2         ,         5         ,         7         ,         12         }                            134         ->         {         2         ,         5         ,         9         ,         9         }                            135         ->         {         2         ,         5         ,         9         ,         13         }                            136         ->         {         2         ,         5         ,         11         ,         11         }                            137         ->         {         2         ,         5         ,         11         ,         13         }                            138         ->         {         2         ,         5         ,         13         ,         13         }                            139         ->         {         2         ,         6         ,         7         ,         7         }                            140         ->         {         2         ,         6         ,         9         ,         13         }                            141         ->         {         2         ,         6         ,         11         ,         11         }                            142         ->         {         2         ,         6         ,         13         ,         13         }                            143         ->         {         2         ,         7         ,         7         ,         7         }                            144         ->         {         2         ,         7         ,         7         ,         9         }                            145         ->         {         2         ,         7         ,         8         ,         10         }                            146         ->         {         2         ,         7         ,         9         ,         9         }                            147         ->         {         2         ,         7         ,         9         ,         12         }                            148         ->         {         2         ,         7         ,         10         ,         13         }                            149         ->         {         2         ,         7         ,         11         ,         11         }                            150         ->         {         2         ,         7         ,         11         ,         13         }                            151         ->         {         2         ,         7         ,         13         ,         13         }                            152         ->         {         2         ,         8         ,         11         ,         13         }                            153         ->         {         2         ,         9         ,         9         ,         9         }                            154         ->         {         2         ,         9         ,         9         ,         10         }                            155         ->         {         2         ,         9         ,         11         ,         12         }                            156         ->         {         2         ,         9         ,         12         ,         12         }                            157         ->         {         2         ,         10         ,         10         ,         10         }                            158         ->         {         2         ,         10         ,         12         ,         12         }                            159         ->         {         2         ,         10         ,         13         ,         13         }                            160         ->         {         3         ,         3         ,         3         ,         13         }                            161         ->         {         3         ,         3         ,         4         ,         10         }                            162         ->         {         3         ,         3         ,         5         ,         8         }                            163         ->         {         3         ,         3         ,         5         ,         11         }                            164         ->         {         3         ,         3         ,         7         ,         10         }                            165         ->         {         3         ,         3         ,         8         ,         11         }                            166         ->         {         3         ,         3         ,         10         ,         10         }                            167         ->         {         3         ,         3         ,         10         ,         11         }                            168         ->         {         3         ,         3         ,         10         ,         12         }                            169         ->         {         3         ,         3         ,         11         ,         11         }                            170         ->         {         3         ,         3         ,         13         ,         13         }                            171         ->         {         3         ,         4         ,         6         ,         7         }                            172         ->         {         3         ,         4         ,         7         ,         13         }                            173         ->         {         3         ,         4         ,         8         ,         8         }                            174         ->         {         3         ,         4         ,         9         ,         10         }                            175         ->         {         3         ,         4         ,         10         ,         11         }                            176         ->         {         3         ,         4         ,         11         ,         11         }                            177         ->         {         3         ,         4         ,         13         ,         13         }                            178         ->         {         3         ,         5         ,         5         ,         5         }                            179         ->         {         3         ,         5         ,         5         ,         10         }                            180         ->         {         3         ,         5         ,         5         ,         13         }                            181         ->         {         3         ,         5         ,         7         ,         7         }                            182         ->         {         3         ,         5         ,         8         ,         10         }                            183         ->         {         3         ,         5         ,         9         ,         11         }                            184         ->         {         3         ,         5         ,         11         ,         13         }                            185         ->         {         3         ,         6         ,         7         ,         11         }                            186         ->         {         3         ,         6         ,         8         ,         11         }                            187         ->         {         3         ,         6         ,         10         ,         13         }                            188         ->         {         3         ,         7         ,         7         ,         11         }                            189         ->         {         3         ,         7         ,         8         ,         10         }                            190         ->         {         3         ,         7         ,         10         ,         12         }                            191         ->         {         3         ,         7         ,         11         ,         13         }                            192         ->         {         3         ,         8         ,         8         ,         13         }                            193         ->         {         3         ,         8         ,         10         ,         13         }                            194         ->         {         3         ,         8         ,         11         ,         13         }                            195         ->         {         3         ,         10         ,         10         ,         10         }                            196         ->         {         3         ,         10         ,         10         ,         11         }                            197         ->         {         3         ,         10         ,         10         ,         13         }                            198         ->         {         3         ,         10         ,         11         ,         11         }                            199         ->         {         3         ,         10         ,         12         ,         12         }                            200         ->         {         3         ,         10         ,         12         ,         13         }                            201         ->         {         3         ,         10         ,         13         ,         13         }                            202         ->         {         3         ,         11         ,         11         ,         11         }                            203         ->         {         3         ,         11         ,         11         ,         13         }                            204         ->         {         3         ,         11         ,         12         ,         13         }                            205         ->         {         3         ,         11         ,         13         ,         13         }                            206         ->         {         3         ,         13         ,         13         ,         13         }                            207         ->         {         4         ,         4         ,         4         ,         13         }                            208         ->         {         4         ,         4         ,         5         ,         9         }                            209         ->         {         4         ,         4         ,         6         ,         6         }                            210         ->         {         4         ,         4         ,         6         ,         7         }                            211         ->         {         4         ,         4         ,         7         ,         11         }                            212         ->         {         4         ,         4         ,         9         ,         9         }                            213         ->         {         4         ,         4         ,         9         ,         10         }                            214         ->         {         4         ,         4         ,         9         ,         13         }                            215         ->         {         4         ,         4         ,         10         ,         11         }                            216         ->         {         4         ,         4         ,         11         ,         11         }                            217         ->         {         4         ,         4         ,         13         ,         13         }                            218         ->         {         4         ,         5         ,         5         ,         11         }                            219         ->         {         4         ,         5         ,  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227         ->         {         4         ,         6         ,         9         ,         11         }                            228         ->         {         4         ,         6         ,         10         ,         13         }                            229         ->         {         4         ,         6         ,         11         ,         13         }                            230         ->         {         4         ,         7         ,         7         ,         9         }                            231         ->         {         4         ,         7         ,         7         ,         10         }                            232         ->         {         4         ,         7         ,         7         ,         12         }                            233         ->         {         4         ,         7         ,         7         ,         13         }                            234         ->         {         4         ,         7         ,         10         ,         13         }                            235         ->         {         4         ,         8         ,         10         ,         13         }                            236         ->         {         4         ,         9         ,         9         ,         9         }                            237         ->         {         4         ,         9         ,         9         ,         11         }                            238         ->         {         4         ,         9         ,         9         ,         13         }                            239         ->         {         4         ,         9         ,         10         ,         10         }                            240         ->         {         4         ,         9         ,         11         ,         13         }                            241         ->         {         4         ,         9         ,         12         ,         13         }                            242         ->         {         4         ,         9         ,         13         ,         13         }                            243         ->         {         4         ,         10         ,         10         ,         10         }                            244         ->         {         4         ,         10         ,         10         ,         13         }                            245         ->         {         4         ,         10         ,         11         ,         11         }                            246         ->         {         4         ,         10         ,         13         ,         13         }                            247         ->         {         4         ,         11         ,         11         ,         11         }                            248         ->         {         4         ,         11         ,         11         ,         12         }                            249         ->         {         4         ,         11         ,         11         ,         13         }                            250         ->         {         4         ,         11         ,         12         ,         12         }                            251         ->         {         4         ,         11         ,         13         ,         13         }                            252         ->         {         4         ,         12         ,         12         ,         13         }                            253         ->         {         4         ,         12         ,         13         ,         13         }                            254         ->         {         4         ,         13         ,         13         ,         13         }                            255         ->         {         5         ,         5         ,         5         ,         7         }                            256         ->         {         5         ,         5         ,         5         ,         8         }                            257         ->         {         5         ,         5         ,         5         ,         10         }                            258         ->         {         5         ,         5         ,         5         ,         11         }                            259         ->         {         5         ,         5         ,         5         ,         13         }                            260         ->         {         5         ,         5         ,         6         ,         9         }                            261         ->         {         5         ,         5         ,         6         ,         10         }                            262         ->         {         5         ,         5         ,         6         ,         12         }                            263         ->         {         5         ,         5         ,         6         ,         13         }                            264         ->         {         5         ,         5 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        272         ->         {         5         ,         6         ,         7         ,         10         }                            273         ->         {         5         ,         6         ,         7         ,         11         }                            274         ->         {         5         ,         6         ,         8         ,         11         }                            275         ->         {         5         ,         7         ,         7         ,         7         }                            276         ->         {         5         ,         7         ,         7         ,         8         }                            277         ->         {         5         ,         7         ,         7         ,         12         }                            278         ->         {         5         ,         7         ,         7         ,         13         }                            279         ->         {         5         ,         7         ,         8         ,         11         }                            280         ->         {         5         ,         7         ,         8         ,         12         }                            281         ->         {         5         ,         7         ,         8         ,         13         }                            282         ->         {         5         ,         7         ,         9         ,         9         }                            283         ->         {         5         ,         7         ,         11         ,         12         }                            284         ->         {         5         ,         7         ,         12         ,         13         }                            285         ->         {         5         ,         8         ,         8         ,         11         }                            286         ->         {         5         ,         8         ,         8         ,         12         }                            287         ->         {         5         ,         8         ,         9         ,         9         }                            288         ->         {         5         ,         8         ,         9         ,         10         }                            289         ->         {         5         ,         8         ,         10         ,         10         }                            290         ->         {         5         ,         8         ,         10         ,         13         }                            291         ->         {         5         ,         8         ,         11         ,         11         }                            292         ->         {         5         ,         8         ,         12         ,         13         }                            293         ->         {         5         ,         8         ,         13         ,         13         }                            294         ->         {         5         ,         9         ,         9         ,         9         }                            295         ->         {         5         ,         9         ,         9         ,         10         }                            296         ->         {         5         ,         9         ,         9         ,         13         }                            297         ->         {         5         ,         9         ,         10         ,         12         }                            298         ->         {         5         ,         9         ,         11         ,         11         }                            299         ->         {         5         ,         9         ,         11         ,         12         }                            300         ->         {         5         ,         9         ,         13         ,         13         }                            301         ->         {         5         ,         10         ,         10         ,         10         }                            302         ->         {         5         ,         10         ,         11         ,         12         }                            303         ->         {         5         ,         10         ,         11         ,         13         }                            304         ->         {         5         ,         10         ,         12         ,         12         }                            305         ->         {         5         ,         11         ,         11         ,         11         }                            306         ->         {         5         ,         11         ,         11         ,         12         }                            307         ->         {         5         ,         11         ,         11         ,         13         }                            308         ->         {         5         ,         11         ,         12         ,         13         }                            309         ->         {         5         ,         11         ,         13         ,         13         }                            310         ->         {         5         ,         12         ,         12         ,         12         }                            311         ->         {         5         ,         12         ,         12         ,         13         }                            312         ->         {         5         ,         12         ,         13         ,         13         }                            313         ->         {         5         ,         13         ,         13         ,         13         }                            314         ->         {         6         ,         6         ,         6         ,         7         }                            315         ->         {         6         ,         6         ,         6         ,         13         }                            316         ->         {         6         ,         6         ,         7         ,         7         }                            317         ->         {         6         ,         6         ,         7         ,         8         }                            318         ->         {         6         ,         6         ,         7         ,         13         }                            319         ->         {         6         ,         6         ,         9         ,         9         }                            320         ->         {         6         ,         6         ,         10         ,         10         }                            321         ->         {         6         ,         6         ,         10         ,         11         }                            322         ->         {         6         ,         6         ,         11         ,         11         }                            323         ->         {         6         ,         6         ,         13         ,         13         }                            324         ->         {         6         ,         7         ,         7         ,         7         }                            325         ->         {         6         ,         7         ,         7         ,         8         }                            326         ->         {         6         ,         7         ,         7         ,         9         }                            327         ->         {         6         ,         7         ,         7         ,         12         }                            328         ->         {         6         ,         7         ,         7         ,         13         }                            329         ->         {         6         ,         7         ,         8         ,         8         }                            330         ->         {         6         ,         7         ,         8         ,         13         }                            331         ->         {         6         ,         7         ,         9         ,         10         }                            332         ->         {         6         ,         7         ,         9         ,         11         }                            333         ->         {         6         ,         7         ,         9         ,         13         }                            334         ->         {         6         ,         7         ,         10         ,         11         }                            335         ->         {         6         ,         7         ,         13         ,         13         }                            336         ->         {         6         ,         8         ,         8         ,         13         }                            337         ->         {         6         ,         8         ,         10         ,         10         }                            338         ->         {         6         ,         8         ,         12         ,         13         }                            339         ->         {         6         ,         9         ,         9         ,         9         }                            340         ->         {         6         ,         9         ,         9         ,         13         }                            341         ->         {         6         ,         9         ,         10         ,         10         }                            342         ->         {         6         ,         9         ,         10         ,         13         }                            343         ->         {         6         ,         9         ,         11         ,         11         }                            344         ->         {         6         ,         9         ,         13         ,         13         }                            345         ->         {         6         ,         10         ,         10         ,         11         }                            346         ->         {         6         ,         10         ,         10         ,         12         }                            347         ->         {         6         ,         10         ,         11         ,         11         }                            348         ->         {         6         ,         10         ,         11         ,         13         }                            349         ->         {         6         ,         10         ,         13         ,         13         }                            350         ->         {         6         ,         11         ,         11         ,         11         }                            351         ->         {         6         ,         11         ,         11         ,         13         }                            352         ->         {         6         ,         11         ,         13         ,         13         }                            353         ->         {         6         ,         13         ,         13         ,         13         }                            354         ->         {         7         ,         7         ,         7         ,         7         }                            355         ->         {         7         ,         7         ,         7         ,         8         }                            356         ->         {         7         ,         7         ,         7         ,         9         }                            357         ->         {         7         ,         7         ,         7         ,         10         }                            358         ->         {         7         ,         7         ,         7         ,         11         }                            359         ->         {         7         ,         7         ,         7         ,         13         }                            360         ->         {         7         ,         7         ,         8         ,         8         }                            361         ->         {         7         ,         7         ,         8         ,         9         }                            362         ->         {         7         ,         7         ,         8         ,         10         }                            363         ->         {         7         ,         7         ,         8         ,         12         }                            364         ->         {         7         ,         7         ,         8         ,         13         }                            365         ->         {         7         ,         7         ,         9         ,         9         }                            366         ->         {         7         ,         7         ,         9         ,         11         }                            367         ->         {         7         ,         7         ,         9         ,         12         }                            368         ->         {         7         ,         7         ,         9         ,         13         }                            369         ->         {         7         ,         7  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          377         ->         {         7         ,         8         ,         10         ,         12         }                            378         ->         {         7         ,         8         ,         11         ,         11         }                            379         ->         {         7         ,         8         ,         13         ,         13         }                            380         ->         {         7         ,         9         ,         9         ,         9         }                            381         ->         {         7         ,         9         ,         9         ,         10         }                            382         ->         {         7         ,         9         ,         9         ,         11         }                            383         ->         {         7         ,         9         ,         9         ,         12         }                            384         ->         {         7         ,         9         ,         10         ,         10         }                            385         ->         {         7         ,         9         ,         10         ,         13         }                            386         ->         {         7         ,         9         ,         11         ,         13         }                            387         ->         {         7         ,         9         ,         12         ,         13         }                            388         ->         {         7         ,         10         ,         10         ,         10         }                            389         ->         {         7         ,         10         ,         10         ,         13         }                            390         ->         {         7         ,         10         ,         11         ,         11         }                            391         ->         {         7         ,         10         ,         11         ,         12         }                            392         ->         {         7         ,         10         ,         13         ,         13         }                            393         ->         {         7         ,         11         ,         11         ,         11         }                            394         ->         {         7         ,         11         ,         11         ,         12         }                            395         ->         {         7         ,         11         ,         11         ,         13         }                            396         ->         {         7         ,         11         ,         12         ,         12         }                            397         ->         {         7         ,         11         ,         12         ,         13         }                            398         ->         {         7         ,         11         ,         13         ,         13         }                            399         ->         {         7         ,         12         ,         12         ,         12         }                            400         ->         {         7         ,         12         ,         13         ,         13         }                            401         ->         {         7         ,         13         ,         13         ,         13         }                            402         ->         {         8         ,         8         ,         8         ,         8         }                            403         ->         {         8         ,         8         ,         8         ,         9         }                            404         ->         {         8         ,         8         ,         9         ,         9         }                            405         ->         {         8         ,         8         ,         9         ,         10         }                            406         ->         {         8         ,         8         ,         10         ,         10         }                            407         ->         {         8         ,         8         ,         10         ,         11         }                            408         ->         {         8         ,         8         ,         11         ,         11         }                            409         ->         {         8         ,         8         ,         13         ,         13         }                            410         ->         {         8         ,         9         ,         9         ,         9         }                            411         ->         {         8         ,         9         ,         9         ,         10         }                            412         ->         {         8         ,         9         ,         9         ,         11         }                            413         ->         {         8         ,         9         ,         9         ,         13         }                            414         ->         {         8         ,         9         ,         10         ,         10         }                            415         ->         {         8         ,         9         ,         10         ,         11         }                            416         ->         {         8         ,         9         ,         13         ,         13         }                            417         ->         {         8         ,         10         ,         10         ,         10         }                            418         ->         {         8         ,         10         ,         10         ,         11         }                            419         ->         {         8         ,         10         ,         10         ,         13         }                            420         ->         {         8         ,         10         ,         11         ,         12         }                            421         ->         {         8         ,         10         ,         11         ,         13 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    {         8         ,         12         ,         13         ,         13         }                            430         ->         {         8         ,         13         ,         13         ,         13         }                            431         ->         {         9         ,         9         ,         9         ,         9         }                            432         ->         {         9         ,         9         ,         9         ,         10         }                            433         ->         {         9         ,         9         ,         9         ,         11         }                            434         ->         {         9         ,         9         ,         9         ,         13         }                            435         ->         {         9         ,         9         ,         10         ,         10         }                            436         ->         {         9         ,         9         ,         10         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   ->         {         9         ,         10         ,         13         ,         13         }                            445         ->         {         9         ,         11         ,         11         ,         12         }                            446         ->         {         9         ,         11         ,         11         ,         13         }                            447         ->         {         9         ,         12         ,         12         ,         13         }                            448         ->         {         9         ,         12         ,         13         ,         13         }                            449         ->         {         9         ,         13         ,         13         ,         13         }                            450         ->         {         10         ,         10         ,         10         ,         10         }                            451         ->         {         10         ,         10         ,         10         ,         11         }                            452         ->         {         10         ,         10         ,         11         ,         11         }                            453         ->         {         10         ,         10         ,         13         ,         13         }                            454         ->         {         10         ,         11         ,         11         ,         11         }                            455         ->         {         10         ,         11         ,         13         ,         13         }                            456         ->         {         11         ,         11         ,         11         ,         11         }                            457         ->         {         11         ,         11         ,         13         ,         13         }                            458         ->         {         13         ,         13         ,         13         ,         13         }     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