百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



能否通过列举一些代数式、方程加以分析、说明,直观解释阿贝尔定理(Abel–Ruffini th.)? 第1页

  

user avatar    网友的相关建议: 
      

如果不用Galois理论可以直接看Abel的原始证明(比较繁琐)。[1][2]

用现代方法的证明思路是:

  1. 若一个多项式方程可以用根式解那么意味着存在关于其系数的代数函数使得,这里可以写成形式,这里也为代数函数。所以用归纳法可以证明存在域扩张,使得,这里。
  2. ,这是因为的所有根由给出。
  3. 由Galois基本定理存在使得。
  4. 由于5阶及以上的一般n阶方程的Galois群可以取得S_n,但容易证明当n>=5时3中的合成群列不可能出现,所以没有根式解。

一个Galois群是的例子是,这是因为它的Galois群显然包含5阶循环群(Sylow),另一方面其恰含有两个复根所以包含一个对换,用对称群的一个简单结论可以知道其为S_5。

====

至于知道Galois群后如何求出方程的根,可以用如下方法:

首先考察n阶循环扩张E/F其中F包含n次单位根,由Kummer定理可以知道E=F(a),这里a^n∈F。由Noether方程可以知道a对应于Gal(E/F)的特征标群生成元。

所以我们通过递归调用上述算法,即可得到任意可解Galois群的根式扩张。用这个方法也可以推出3,4次方程的根式解,这也是拉格朗日预解式得原始思想。

====

至于知道多项式后如何求出它的Galois群,可以参考:

uncg.edu/mat/numbertheo

事实上这些东西在现在的计算机代数系统比如Maple,Magama等都有实现。

Reference

[1].

Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability: Peter Pesic: 9780262661829: Amazon.com: Books

[2].

math.caltech.edu/~jimlb

[3]. 现代方法可以参考E.Artin 的 Galois Theory.




  

相关话题

  印刷体的数学符号在手写的时候有哪些规范? 
  如果你要向一位学过初级的抽象代数的本科生推销数学工具「正合序列」,你会如何介绍它? 
  圆周率 π 为什么最初没定义成「周长与半径的比值」?直径和半径,哪个是构成圆最基本的单元? 
  什么具体的理论/问题/让你对数学(本科以上)提起了真正的兴趣(motivation)? 
  在你的科研领域里,做得不错的年轻人都有哪些特征? 
  我们在学习推算数学的过程中,是不是也在推演天道? 
  现代科学领域,类似于魔角、鬼成像、上帝/天使/幽灵粒子的玄幻名词还有哪些? 
  有哪些自己发现并证明的并自以为得意的初等数学定理? 
  请问陪集、左陪集、商群、正规子群该如何理解? 
  圆周率 π 的这个连根式展开公式怎么证明? 

前一个讨论
如何证明随机变量的中数一阶矩最小?
下一个讨论
阿贝尔定理有什么哲学思想?





© 2025-04-29 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-29 - tinynew.org. 保留所有权利