如何理解n元线性方程组Ax=b,无解的充要条件为R（A）<R（A,b）? 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
从行变换的角度:
为了方便说明，我都换成具体数字吧。假设方程组:
x+2y=1
2x+4y=3
则系数矩阵为:
A=
1 2
2 4
常数向量为:
b=
1
3
我们将增广矩阵(A,b)化为阶梯矩阵后的结果是:
1 2 1
0 0 1
我们看最后一行，它的意思是:
0*x+0*y=1
这是显然办不到的，故无解。
那么考虑一般的矩阵，在条件rank(A）<rank(A,b)之下，我们总可以对增广矩阵(A,b)做行变换，使得矩阵出现某行为:
0 0 ... 0 b
其中b不为0（至于无穷解，那就是b=0的情况）
从线性变换的角度：
Αx=b
假设r=rank(A) < n，那么A是一个n维线性空间V到其r维子空间Ω上的映射，有
Α(V)=Ω
因为x∈Ω，
那么Ax也包含在Ω，
也就是b包含在Ω。
但是我们知道b是一个含在维数大于r的子空间的向量(因为rank (A,b)>r)，矛盾。
1
相关话题
0.999......8和1相等吗?微分符号 dx、dy 表示什么含义？
什么是「斯特林公式」？
为什么背诵 π 前1000位的人多，而背诵 e 的人却几乎找不到？
这个全椭圆积分和beta函数的关系该怎么证明？
数学分析中最重要的定理是哪个？为什么？
有“数学公式”编程吗？如维基百科粘贴一个LaTeX公式，赋初值后，就能计算出结果？
给 n 个数的加法加括号的方法有多少种？
在四维或更高维的空间中，该如何定义转动？
为什么不能直接把哥德巴赫猜想作为一个公理？
前一个讨论
「骚」是什么？
下一个讨论
如何理解抽象代数的用途？
相关的话题
这个极限怎么做呢？教儿子减法，个位不够要向十位借，儿子问「十位不肯借怎么办」该如何回答？
有没有可能一个数学证明是错的，然而所有人都没注意到呢？
如何看待高中生声称证明哥德巴赫猜想？
没有天赋的人可以成为数学家吗？
数学和编程中，「函数」的概念相同在哪里，不同在哪里？
何为分析方法、代数方法、几何方法、拓扑方法？
只有三维向量有向量积吗？
阿基里斯和乌龟的悖论真的不能用常规逻辑推翻吗？
为什么背诵 π 前1000位的人多，而背诵 e 的人却几乎找不到？
经济学中的「效用」是全序的吗？是可加的吗？如何证明？
各类科研领域中哪些公式，原理或定律的推出，用到了有趣的思维方式？
五年级孩子过于喜欢数学怎么办？
如何用数学知识解答「在进行社区大规模核酸检测时，分成几人一组进行混检效率最高」？
为什么数学里非要写「当且仅当」，而不是「仅当」？
如何尽可能精确地称量 π 斤肉？
用十二进制替换十进制是不是更符合自然规律？
原命题与逆否命题真假性一定相同吗？
有没有大佬会算这个无穷级数？
线性代数对于计算机专业的作用是什么呢？
数学专业的学生抄书有帮助吗？
0.9999…是否等于1的一个疑问?
为什么要引入矩阵这个数学工具？它能简化哪些不用矩阵会复杂的问题？
做数学的人需要记忆很多东西吗？
为什么会有 i 这一虚数？可以求出 i 的值吗？
你能写出你认为既简洁又很酷的公式么？
不定积分做不好怎么改善？
数学领域如今是否还会提出新的猜想?
现在流传的数学高考卷是假的吧？
一个数学问题，(x1+x2+……+x8+1)的8次方，合并同类项后有多少项，类似问题怎么解决？