由Cayley-Hamilton定理,矩阵 特征多项式 有性质:
我们知道,多项式 可能不是次数最小且满足以上关系的多项式,所以就定义了极小多项式
易知,如果存在多项式 , 满足
那么就有
也就是说:以极小多项式为因式的多项式,都可以将矩阵 映射为 矩阵,我们称这样的多项式为零化多项式。,我们将所有的零化多项式全部拿来,定义一个集合,符号记为 ,表示由极小多项式 生成的,我们称之为理想,更准确地说,是主理想,其中任意两个多项式的线性组合也在理想中。
在系数域为 多项式环 中,考虑 ,什么意思呢?就是 中所有元素都可以写为:
其中 ,这和整数环中的代余除法是一致的。
考虑投影映射
简单地说,就是将多项式 映为除 的余式
我们发现, 的核——也就是以 为象的原象集 恰好就是 !
如果对理想、模等理论感兴趣,可以作进一步了解。