如何理解微分几何中的切空间？ 第1页

说一点点我自己的理解，不一定对

曲线和曲面是最简单的流形，不妨先重视一下我们以前的理解.

回忆一下我们对参数曲线 上的一点 处的切线怎么定义的？凡是与 共线的向量.

再回顾一下对于一张2维参数曲面 在一点处 的切平面怎么定义的？由两个向量 和 生成的一个向量空间.

上面两个例子都定义了在一点的切空间，但是都有个共同的缺陷：它们的定义依赖于外蕴的结构：即它们的参数方程. 什么是外蕴的结构？意思就是它们是被放到一个更大的欧氏空间里观察的(嵌入)，也就是我们的参数方程，现在要想一个问题：

如何不用参数方程来定义切空间?

这就需要我们去寻找一些曲线和曲面上的内蕴的量，利用内蕴的方式重新给出切空间的定义，然后才有可能把切空间搬到流形上去，因为流形的定义就是内蕴的，它不依赖于往任何欧氏空间里的嵌入.

首先，最容易想到的是在曲线或者曲面上定义函数，以曲线为例，我们可以定义从曲线到 上的一个映射： ，而我们之前定义的切线无非就是对参数方程求导，为了显示出求导的特性，我们可以定义 点处切向量 对这个映射 的的作用： ，可以见得求导最明显的两个特征都满足：

1. 线性： ；

2. Leibniz律： .

因此原始定义的求导部分可以体现在作用在 上的线性性和Leibniz性，而参数方程的部分，可以体现在 的任意性，即：

对任意的 , 算子 满足：

满足以上两点的一个算子 就可以作为曲线上一点 处的一个切向量，并且这时候我们看到，这个定义不再依赖任何外蕴的结构，因此可以搬到流形上面，于是就有了书上面对流形上的切向量的那种定义.