Homology 和 Homotopy 能在多大程度上完全决定一个流形的拓扑？ 第1页

補充一下 @Yan Zou 的回答。Yan給的主要是否定的答案，但是的確有homotopy invariant完全的recover一個空間的homotopy type。

以下解釋略長，先給你個tl;dr: as E infinity algebra決定了一個nilpotent空間的homotopy type。 as E infinity ring spectrum也決定了一個nilpotent空間的homotopy type。白話點說：兩個空間的homotopy type要相同if and only if 他們的singular cochain as E infinity algebra要是quasi isomorphic if and only if 他們的 as E infinity ring spectrum是weakly equivalent。

解釋開始：

我們先從一些例子來找些直覺：

Yan给的例子 是兩個空間有同樣的cohomology，但是我們如果考慮在cohomology之上的代數結構cup product，我們可以看到，讓x是degree 2的cohomology的generator 。

好，那麼你就會問了，有沒有可能有兩個空間A, B，有同樣的cohomology ring，但是不同的homotopy type。的確有，考慮 。這兩個空間有一樣的cohomology ring，但是Steenrod operation在上面的action不一致。我們有

如果x是 的generator，那麼從suspension isomorphism我們得出 也是generator。那麼Steenrod operation正好把degree 3的generator送到degree 5。那現在我們有一個簡單的inclusion 3，那麼我們有

所以兩個空間不是homotopically equivalent。那你又會問了，如果我們考慮所有的Steenrod operation呢？你已經快對了，你要考慮的是cochain level的Steenrod operation。那我們先看看Steenrod operation是怎麼產生的。

你有沒有想過為什麼 會有Steenrod operation。原因比你想像的深，真正的原因是 是個 algebra，而每一個 algebra上都會有Steenrod operation。舉例來說， 上面有Dyer-Lashof operation，那你剛學的時候肯定有懷疑，為什麼Steenrod operation和Dyer-Lashof operation長得這麼像，都有Adem relation, etc。原因如下，Steenrod algebra 和Dyer-Lashof algebra 只是Big Steenrod algebra 的一部分，Steenrod algebra是positive degree的部分而Dyer-Lashof algebra是negative degree的部分。好那麼你就會問了，什麼叫做一個 algebra，定義上是if X is an algebra over an E infinity operad Ｃ，包含了以下的map

每一個C(i)是一個free resolution of 。那這些data在講些什麼呢？給你一個intuition，因為每一個C(i)是acyclic，可以把它想成是contractible，那給定一個 我們就有個multiplication map從 ，那麼假設 是path connected，給定兩個 ，兩個induced的multiplication就是homotopy equivalent的。所以事實上我們在path connected就已經有commutativity passing to homotopy。那E infinity structure不單單只有path connected，還有所有的higher connectivity，那麼你就可以想成所有的homotopy的homotopy的homotopy的...的homotopy(higher homotopy)都commute。

那 上接受了Eilenberg-Zilber operad的action，雖然Eilenberg-Zilber operad只是acyclic，但是你可以找到一個 operad的lift讓singular cochain變成一個 algebra。那你就會問啦，Steenrod operation是怎樣來的，假設p=2，取 generator，那麼我們定義 。

好前面鋪墊了這麼久，你要的結論來了：

定理一(Mandell, Sullivan)：一個nilpotent空間的rational homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個fully faithful embedding into homotopy category of Q-E infinity algebra

定理二(Mandell): 一個nilpotent p-complete finite p-type空間的homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個fully faithful embedding into homotopy category of -E infinity algebra

定理三(Mandell): 一個nilpotent空間的homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個 faithful but not full embedding into homotopy category of -E infinity algebra

那定理三就跟你說，兩個空間的homotopy type要相同，if and only if 他們的singular cochain as E infinity algebra要是quasi isomorphic。

那以上的所有定理都可以把他拉到stable homotopy category。下面的定理是我導師的unpublished work。基本上是用Bousfield Kan spectral sequence來計算mapping space between E infinity ring spectrum。

定理四(Hopkins): 一個nilpotent空間的rational homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個fully faithful embedding into homotopy category of -E infinity ring spectrum

定理五(Hopkins): 一個nilpotent p-complete finite p-type空間的homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個fully faithful embedding into homotopy category of -E infinity ring spectrum

定理六(Hopkins): 一個nilpotent空間的homotopy type是被 的E infinity structure所決定， 是一個 faithful but not full embedding into homotopy category of -E infinity ring spectrum

附上一些參考文獻：

想學operad有關的，請參考may的

Steenrod operation存在真正的原因：

定理一的簡化版:

定理二：

定理三：