下一次数学突破会在哪里？ 第1页

如果这个问题在 MathOverflow 问，答案很可能会是 Langlands 纲领。

如果说理论物理的终极目标之一是 Theory of everything，那么数学在近几十年来的对应物就是 Langlands program：对于 Galois 表示与自守表示的非常广泛，令人惊讶的联系。

著名的 Fermat 大定理的证明不过是这个宏伟图景的小小一角，而 Witten 等物理学家更希望将它的几何化版本转化为弦论中的对偶，宛如造出一个统一物理与数学的超级万有理论。

事实上，它竟然对于 1 维（abelian class field theory）和 2 维（Taniyama-Shimura）情形成立，已经令人感到很不可思议。粗浅地看来，模形式和椭圆曲线的定义颇有相似之处嘛，椭圆曲线与自己的 Jacobian 的等价很好，模曲线的许多性质都很好啊，Eichler-Shimira 不是也不难嘛。但这些完全不足以解决问题。T-S 目前的证明颇为暴力（关键的一步靠的是 3/5 trick。简单说就是不可能往 3 维再走），对于不可解群我们的大量方法一筹莫展。其实目前 2 维也没有完全解决，Serre 猜想是也解决了，但 Maass form 的情形就还有不少距离。

迹公式（Trace formula）是目前比较有希望的攻坚方法之一。吴宝珠对其中基本引理（Fundamental Lemma）的证明就理所当然地拿了菲尔兹，在往后的道路中至少还能再有 3 个菲尔兹给其中的主要参与者。

那么，为什么正常人类都不会有听说过它呢？因为单单是把 Langlands 纲领的陈述真正说清楚，已经需要太多太多的知识准备。。。比黎曼猜想 Poincare 猜想等等要解释多上十倍的篇幅，对于正常人类基本上是天书。

对了，我最近也在写一个数学教程：【 数学中的具体计算 】包括一些几何、表示论、数论内容，当然也有 Langlands 的更多细节（需要一定的数学基础）。欢迎阅读和提意见建议（有哪里看不明白，也可以在那边留言给我）。

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2018.8 更新：如果您对数学感兴趣，欢迎看我在知乎的更多回答，只输出干货：

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