老师说链式法则里某个 dy/dx 不能理解为 dy 除以 dx，为什么？ 第1页

可以是可以，只不过允许这种理解容易引起误解，在学生还不能正确理解微积分时会得不偿失。首先我说明为什么在一些场合下允许将 理解为对 做除法。

对于满足函数关系 的变量 参考导数记号，我们写出

暂且不考虑可行性，将 看作是可以参与运算的元素，那么

接下来，说明这种看法的可行性。

此时 被看作是平等的事物，既然 可以作为除数，那么 也可以。运用导数的定义，可以求出当 可逆时 在 处的导数值，于是

结合前面的等式，对于 的运算的确和实数的运算保持一致。

从另一个角度考虑，复合函数求导法则可以记为设 则

也体现出对于 指定这种运算是合理的。

不过，仅仅这样还不能确定这种合理在数学上的准确性。事实上，现代数学的确找到了严格定义函数的微分的方法^[1]，但是这远远超过了高等数学的范围，甚至在大多数时候不是本科数学的内容。

我以一个常见的错误来说明过分追求直观理解的弊端。习惯上，表示二阶导数

为什么是这样呢？可以不严格地理解为

截止到这里还没有太大问题。但是设 则可以验证

这就不是能简单解释的事情了。采取不严格的观点，会得到

然而这是错的。除非严格推导，否则难以说明产生错误的原因，从而引起费解。

虽然以不严格的方式引入微分不符合数学的标准，但是这样做可以简化一些书写，甚至为解决数学问题提供线索，这可能是在高等数学课上提及微分的原因。

不过我认为，为了这点好处不值得冒着让一些学生学不懂数学的风险而引入不严格的微分。老师不希望学生将 理解为对 做除法，也可能是出于这种考虑。

何况在高等数学课的环境下，对于定理的严格证明不做要求。即便对此不做评价，此时提供的所谓直观理解，是不是应该以不容易产生误解为准则？

参考

1. ^ https://zhuanlan.zhihu.com/p/222338086

关于导数、微分，我们写过相当多的文章：

• 微分是什么？
• dx，dy是什么？
• 微分和导数的关系是什么？
• 重新理解导数和微分

但仍然有很多可以讨论的话题，比如，导数能不能通过除法 求出？这个答案非常明确，不能！

那为什么这个问题还值得讨论？主要是由于在微积分发展历史上符号混乱，导致同学们产生了误解，并且误解还被不断的强化：

• 导数定义的时候，使用的符号 虽然不是除法，但看上去像除法
• 在微分定义中，使用的符号 确实又是除法
• 在一些求导法则中，用除法来理解确实可以得到正确的结果，但必须指出这种理解方式是一种歪打正着，在本质上是错误的

下面逐一来解释。

1 导数

先从导数的定义说起。已知某曲线 以及 点：

如果想求该点导数的话，可以通过如下的极限式求出，并且在数学中一般用 或 来表示导数：

或 这两个符号有个问题，没有指明是对 求导（这点的重要性在本文后面计算链式法则时就可以看出），所以数学家又引入了如下的符号：

有时候为了写起来省事，上面符号又变为了：

就是这种写法开始让同学有点混淆了，以为导数是除法 的结果。其实上述符号的红色部分应该看作整体，然后和 一起（即等号的左侧）代表了右侧的极限式。所以这里是不可能拆分出 和 来，也就是导数不是由除法求出的。

2 微分

进一步的误解产生于微分的出现，本节就来解释下。如果将导数 当作斜率的话，就可以在 点求出用于近似曲线 的切线 （可以参考重新理解导数和微分）：

该切线 的方程为：

在数学中因为种种原因（可以参考dx，dy是什么？），往往会在切点建立坐标系，横坐标记作 ，纵坐标记作 。此时符号就开始混淆了，其实这里的 、 和导数 毫无关系：

在 坐标系中，切线方程就非常简单了（其中 ，关于这点也可以参考dx，dy是什么？）：

此时切线也被称为微分，并且可以推出：

在这里就产生了更大的混淆，仿佛导数 就是由 和 相除得到的。但要注意这里的逻辑顺序：

反过来是不成立的。也就是说不可能通过 和 相除求出导数 ，因为在两者相除之前 已经存在了。

3 导数和微分

综上，根据导数定义、微分定义分别可以得到：

两者看着非常相似，但从上面两节的分析可知，内涵完全不一样：

但符号实在太接近了，造成了一定程度的混乱。

4 歪打正着

更深的误解来自于对求导法则的解读，本节会尽量去澄清这一点。

首先，我们要明确所有求导法则都是通过导数定义来推导的，比如下面这些常用法则。如果去翻看教科书会发现推导过程还是很复杂的：

• 链式法则：
• 反函数求导：
• 参数方程求导：

我相信很多同学也发现了，上面这些法则似乎可以通过微分定义来理解，并且还更简单、更符合直觉。这种理解方式是一种歪打正着，本质上是错误的，下面通过链式法则来分析下为什么。

4.1 链式法则

通过微分定义来理解链式法则，就是认为 、 是两个微分之商，所以似乎可以像下面这样来推导处链式法则：

比对一下教科书就知道这个过程是错误的，应该通过导数定义来推导。退一万步来说，就算可以通过微分定义来推导，但分母中的 是 坐标系中的横坐标，分子中的 是 坐标系中的纵坐标，两者的代数式并不一样，是没法约掉的。

举一个具体的例子，比如有：

两函数复合为：

那么分母 是 坐标系的横坐标，因此：

而分子 是 坐标系中的纵坐标，因此：

分母 和分子 都被换到用 和 来表示，可以看出两者并不相等，所以是不可能约掉的。为了提醒自己，可以将链式法则写成导数形式：

很显然，右边的表达式看上去更复杂，所以有时候不得不用左边的表达式，尽管会带来一些混淆。

4.2 二阶链式法则

你说，我非要按照微分观点来理解链式法则，反正这样也容易记，结果也是正确的。当然可以这么做，只是到了二阶链式法则，这样做就走不通了，会发生错误。

来算算二阶链式法则：

到目前为止一切都很好，继续往下化简就会出问题。上面等式最后有两项，第一项按照微分观点可以得到：

这很显然是错误的，否则就会推出第二项 。

5 微分方程

那有没有运用微分定义的地方？有的，就是微分方程。比如：

大家知道就行了，不再赘述。

6 总结

导数是不能通过除法 求出的。但由于微分的出现，又使用了相同的符号，造成了同学们的混淆。所以大家在运用导数定义、微分定义的时候，需要谨慎一些。