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如何证明调和算数几何平均值不等式? 第1页

  

user avatar   liu-yang-zhou-23 网友的相关建议: 
      

先承认对数函数的凸性,不承认我也没办法。

欲证A-G:

即证(不等式两边同取对数)

证完了。





这这这是是为什么呢,这就是因为对数函数的凸性。




再证明另一个不等式:

怎么办,再取对数?嗯,可以先取个倒数

再取对数,

证完了。






看出来了吗?看出来了吗?对,对,








只要把1/ak看成新的ak,那么这个式子与上面所证的A-G(算术-几何)不等式是一回事。


均值不等式的根本性证明请参考柯西大神的逆向归纳法,一般书上都会讲。用凸性说事其实相当于废话……但是凸性很有几何直观性。另外对数的凸性可以直接求二阶导数大于0得知,这一点也是光滑函数的好处。




  

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