如何理解数列极限的定义？ 第1页

1.说在前面

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础；

所谓极限的思想，是指：用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

2.什么是极限？

说人话就是，无限靠近而永远不能到达的那个地方；

在数学上，这个地方可能是一个点，也可能是一条直线。

3.数列极限定义

设有一个数列 ，其中元素从小打到大排列， 是确定的一个数。若对任给的正数 ，总存在正整数 ,使得 时，有

则，称数列 的极限为 ,也称之为数列收敛于 ,记作：

4.通俗理解

接下来从通俗的角度来理解推导一下数列极限的定义（可能不太严谨，但是道理我们都懂）

1、怎么用一句人说清楚数列极限？

数列 某位置越后的元素，越无限接近一常数 (数列默认是单调排列的)，即

时， 无限接近常数

注意上述中， 代表整个数列， 代表数列中第n项元素。

2、那么怎么用数学语言，来表示“ 无限接近常数 ”呢？

采用差值的绝对值表示两数之间的距离，即

时， 无限小

3、什么是无限小？

就是对任意一个正数 ，两数之间的距离都比他小，不管 你多小，我都比你小，即

4、怎么理解上面加粗的“某位置”呢？

数列收敛并不要求所有项元素都收敛于一点，而是要求从某项元素之后的所有元素收敛于一点就行，前面的有限项不影响数列的整体特性，重点考察后面的无限项（精髓）

因此，针对于一个数列，我们只需找到一个位置 ，对于所有在该位置之后的元素 ，满足 即可。

5.画图理解

       啊哈，没想到学数学的同学，也可以是画画的baby     

说明： 去掉绝对值后，就是 ，也就是说从 项之后的无数项，都落在区间 中，这个区间在数学上称之为 的邻域^[1]。值得注意的是，上图为了形象表示，将这个区间画的特别大，其实大家都明白，这个区间是无限小的。

这个图画的很糟糕，画的是数列中的元素 关于 的二维平面图，上面的黑点就代表着每个取值点，可以看出从 之后的元素越来越靠近上图 这条虚线。同样，这些点也是被包裹在 的邻域中。

为什么要画一个二维的图呢？

一方面，我觉得这更好形象的表示了数列收敛到一个值；其次，将这些离散的点连成光滑的曲线后，表示的就是后面会学到的函数极限^[2]

6.思考

1、 用于衡量数列 与 的接近程度( 越小表示越接近)，具有任意性，但一经给出，就确定下来了。
2、 随着 的变小而变大，依赖于 ，但 不由 唯一确定，在数列极限定义中重点还是考察其是否存在。

7.解题

题目一般是要求你用定义证明某个数列是否收敛至某个常数 ，其实就是问你是否能找到一个 ，当 时，数列收敛至这个常数 。

解题三部曲

• 根据题意写距离表达式
• 根据上式解出
• 找到

从下至上解释一下，第三步中的加一其实可以加任何正数，目的是当 时，第二步的表达式就必会成立，因此第一步的表达式也就成立了，故数列收敛至常数 。

例题

问：用定义证明

证明如下：（参照三部曲）

（写距离）设存在 使得存在
（解表达式）根据上式解得：
（找 ）取
综上所述， ，当 时，有 ，使得 ，故，数列收敛于常数1。

证毕

参考

1. ^邻域 https://baike.baidu.com/item/%E9%82%BB%E5%9F%9F
2. ^函数极限 https://baike.baidu.com/item/%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%9E%81%E9%99%90

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