有没有一个函数求导后幂会变高？ 第1页
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hua-liu-61 网友的相关建议:
假设某函数导数比它自身高一次幂，则我们可以建立微分方程:
解上面这个方程：
使用分离变量法：
即
可以设想，e的1/2对结果影响不大，所以我们简化一下，可以得到函数
其导数 为
可以看到，这个函数在忽略掉右边 后是x的零次幂(常数C)；
求导后同样忽略掉右边后是x的1次幂（ ），x的次数变高了。
同时，我们可以推广到一般情况: ，(n>1)
其导数为 ，都会比y的幂次数高n-1次。
最后我们再回看一下这个微分方程：
当n>0时，说明求导后是升幂的;当n=0时求导后是等幂的；当n<0时是求导后降幂的。
这个微分方程的解为
明显的，当n=0时，即 ，就是我们最常见的指数函数，导数等于它自身，这时升幂或降幂的分界线。
然而这个解有个孤点n=-1，这时e的指数项分母为零，无意义。这时我们单独对这个点进行求解：
这个正好就是我们的多项式了。
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