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如何证明Banach空间的有限维子空间的性质? 第1页

  

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题目表述有点缺漏……


设 为 Banach 空间,有一个有限维子空间 , 有一组范数均为1的基 . 我们知道 是闭子空间。 表示 的标量域,即 或 .

我们将考虑作一个有界幂等线性算子 ,并且希望 . 如果能做到这一点,就可以知道 满足要求,因为 连续表明 是闭的,然后 ,剩下的条件仿照线性代数就得到了。

考虑作这样的一些线性泛函 因为 有限维,因此 总是有界线性泛函,然后用 Hahn-Banach 延拓定理,保范延拓到 上,并仍记为 . 由于保范, 是一些连续线性泛函。

记 .

验证 满足要求的任务留给读者。


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抄了下Brezis)




  

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