「泛函」究竟是什么意思？ 第1页

, 这是算数；，这是代数； ，这就是泛函了。泛函表示对参与这个表达式的函数的约束，不是特定的函数，而是能满足这个约束的所有函数。

算数表达式是对数字的约束，代数表达式是对变量的约束，泛函表达式是对函数的约束。将算数表达式或者微积分表达式中的变量替换为函数，就是泛函，表示其中的函数受到某种约束。但要注意，这里的 并不指代一种特定的函数，而是用来泛指满足这个约束条件的函数。

从算术到代数到泛函，感觉是一个不断泛化的过程（不过我不确定泛函的泛是不是这个意思）。如下所述：

• 算数表达式中，输入的数是确定的；
• 代数表达式中，输入的数可以有很多，只要满足关系式的约束就可以。更进一步，对于 这个代数表达式，如果 ，那么表达式展开为 ，或许这可以称为函数表达式，但它的特点是对输入的操作仍然是具体的，操作是 。
• 那泛函泛在哪里呢？泛在连操作都不需要具体指定了。函数 只是对变量的操作，但不一定只有一种，你可以选取很多种函数，比如 等等，只要满足 这个约束就可以。

再多来一句，代数是用字母代替具体的数字；泛函使用大写字母代替具体的函数。那么如果把泛函称为“代函”，会不会更有助于理解？

如果你只是想要个简单直观的了解，那这些就够了，下面的可以不看。

下面举一个具体的例子。不过先声明一下，泛函本质上和积分，微分没有必然联系。只是好像泛函一般只出现在泛函分析中。但毕竟泛函是泛函，微积分是微积分，泛函分析是泛函分析。泛函本身比算数表达式，代数表达式复杂不了多少。

用变分法求最速降曲线是个好例子。在这个表达是里面，并不关心 的具体形式。

附加一点题外话。数学有的概念看不懂的话，查查英文也许有帮助。比如泛函分析，英文是Functional analysis，就是函数的分析，不知道为什么翻译成泛函。

还有学数学，特别是和物理相关的线性代数，微分几何这些，还是和直观的物理现象关联起来比较好，陷在符号和关系推导里面，越学越糊涂。结合流体力学，电磁学，狭义和广义相对论来理解、学线性代数、微分几何会好很多。