现代数学的基础是建立在“无穷”概念之上的,如果你不承认无穷,那么“连续性”自然也就不存在。
一旦涉及到无穷,就有极限这个概念,根据点集拓扑的定义,所谓的连续统就是有理数集的闭包。
即一个有理数数列的极限可以是无理数(数列的每一项都是有理数),但极限不是,那么对于极限运算而言有理数集不封闭,要填补这个空隙,就必须要定义实数:实数等价于所有收敛有理数数列的极限全体的集合(柯西列),这样就创造出了连续统。
那么能不能发明有限数学呢?我个人觉得是可以,好像有人在做,但我不是很清楚。
在实际应用中,承认连续性在宏观尺度下不影响应用,不过一旦涉及到计算机就必然是离散和有限的。
假设人类造了一台足够性能的有限图灵机,用来模拟小尺度的宇宙,那么在这个宇宙中人类的数学又是什么样子呢?
换个问题真实宇宙是否存在实无穷?
人脑是否是图灵机的子集?
好像都没有答案……
用实验观测的结果为依据,那是实验科学的方法,比如物理。而数学是先验科学,是抽象工具,用来描绘现实规律。如果数学也以实验为标准,我们对世界的探索和认识的速度将严重减慢,甚至停致不前。
对于数轴的连续,正是因为它可以处处无限细分。我们把单一属性的无限可分抽象为连接。对于现实世界,因为有分子原子夸克弦等表现综合约束,并不是单一属性的直接表现,所以才会有普朗克常量等最小尺度。
但是谁又能保证我们现在认识的最小尺度就是真的最小,如果作为我们的工具——数学都无法描述连续,那么普朗克常量更小的世界将永远无法发现。
当然现实中的时间和空间是连接的,这两个本身就是对宇宙单一属性的抽象和描述。