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如何计算投掷多个骰子得到某个给定总点数的概率? 第1页

  

user avatar   peterscholze 网友的相关建议: 
      

这是一个很有趣的古典概型问题。

由于我们想要得到一个一般解,所以可以把题目中的条件再放宽:每个骰子均匀地有个面,即得到相应点数的概率为。当然,得到每种点数的概率要相等,否则不满足古典概型中基本事件等可能发生的条件。

所以,我们可以将问题描述为,投出个均匀的面骰子,总共得到点数为的概率是多少?

解决问题以前,先进行一些简单铺垫:
个元素当中取个元素的全部可能记作组合数,当然也经常记作;
许多复杂的古典概型问题本质上是组合问题,所以不要太纠结于概率,要适时地站在代数的角度考虑问题。
铺垫结束。求解开始。

投出个骰子能够得到的总事件数为,目标点数为可以记作方程,其中是大于小于的整数。

下面考虑多项式,将它与其自身相乘,化简后一定会包含,其中可以独立地假定为到之间的任意整数。所以对于化简后的多项式,选定指数,则项的系数将给出方程的解的数量。

类似地,因为多项式乘法本质就是同类项之间的组合,所以总点数的获取方式,可以根据多项式中项的系数得出。

我们对多项式进行化简,

根据牛顿二项式定理,


为获得项的系数,考虑,进行合并有

所以我们得到对应全部可能的组合数为

其中,表示高斯取整函数。

记问题的目标概率为 ,我们得到一般解:

求解结束。[1]

在得到这个一般性的结论以后,我们不妨来进行一些检验计算。比如,投出12个正常的6面骰子,得到总点数为42的概率是多少?

代入公式,不难得到

所以,投出12个骰子得到总点数42的概率约为0.067。

对了,42不是一个随便选出来的数,当然也和《银河系漫游指南》没关系。选42是因为它是12个骰子总点数的期望,这个时候对应最高的概率,也就是最多种可能的组合。

换言之,选42只是为了用来调戏那些热衷于穷举的闲人。

参考

  1. ^ Introduction to mathematical probability by J. V. Uspensky. New York: McGraw-Hill, 1937.



  

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