数学为什么需要证明一些看起来非常直观、明显的东西（比如定理）？ 第1页

小学时候，老师上课讲：“圆锥体积是等底等高的圆柱体的三分之一。”

底下的小朋友：“为什么啊？”

“因为你看，”说着掏出她的教具，一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，还有一个大水槽，“我们只需要用圆锥杯装水倒到圆柱杯，倒三次刚好倒满。”

突然一个小朋友发问：“那也只能证明对于这一个圆锥啊？为什么所有圆锥体积都是圆柱的三分之一呢？”

“那你可以去做别的样式的圆锥和圆柱容器，自己验证呀！”

“那怎么验证的完，这世上有无穷无尽多种圆锥呢！”

“... ...”老师一时不知道怎么回答。

“还有，你这个也没有办法做到非常精确啊，你这个也没法确定是三分之一啊，万一是2.9999分之一呢？”

老师失去了耐心：“你闭嘴！出去！”

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以上为原回答。

本回答原意是想通过一个（半真实的）故事，试图启发题主思考什么是所谓的“显然”，为什么数学需要公理化证明。数学不是政治，不是民主投票（因为班上别的小朋友都觉得显然，所以显然），也不是专政独裁（因为老师说显然，所以显然）。如果完全理解了这些，我想原问题也就迎刃而解。

但是评论区里总是有人聚焦在一些不是重点的地方，甚至有些人阴阳怪气，希望好自为之。

我之所以举这个圆锥体积公式的例子，一个是这件事几乎真实的发生在我身边过。等我思想更成熟后，回过头来再想起这件事，它给我了更新的感悟。数学究竟是什么？它和其它自然科学有什么不同？它和人文科学又有什么不同？数学中的对错和政治中的对错之间的区别是什么？“开区间内的连续实函数必存在一处可导”是错的，希特勒的纳粹德国路线也是错误的，这两种错误是否相同？这可能是个很值得题主自己思考的问题。

第二是因为它非常通俗易懂，妇孺皆知。当然，我也可以用更深奥的例子，高等数学中的例子更加不“显然”的例子；但是这并不代表着他们更有说服力。“显然”究竟是什么意思，其实也是个很值得思考的问题。对于毕达哥拉斯学派的人，很有可能“这个世界上不存在无理数”也是显然的；对于18世纪的数学家，可能欧几里德第五公设也是显然的；对于虔诚的基督徒，可能“地心说”也是显然的。什么是“显然”？我的大学微积分老师告诉我，当你“看了一个你认为正确的东西后很多遍后”，它就变的“显然”了。这不代表我完全认同他的观点，不过这是个很新颖的思考角度。

题主的这个问题其实已经某种意义上摸到了很有意思的领域。很多问题没有标准答案，每个人都可以总结出自己的答案，前提是要经过琢磨。